专题06 三角函数及解三角形（原卷版）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题06三角函数及解三角形考点一同角三角函数间的基本关系1．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（ ）A．−65 B．−25 C．25 D．65考点二正弦函数的图象2．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+π4）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若2π3＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（3π2，2）中心对称，则f（π2）＝（ ）A．1 B．32 C．52 D．3考点三三角函数的周期性3．（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ．4．（2022•上海）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 ．5．（2020•上海）函数y＝tan2x的最小正周期为 ．6．（2020•上海）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）=12的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+3f（﹣x）f（π2−x），x∈[0，π4]，求g（x）的值域．考点四三角函数的最值7．（2023•上海）已知a∈R，记y＝sinx在[a，2a]的最小值为sa，在[2a，3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是（ ）A．sa＞0，ta＞0 B．sa＜0，ta＜0 C．sa＞0，ta＜0 D．sa＜0，ta＞08．（2021•上海）已知f（x）＝3sinx+2，对任意的x1∈[0，π2]，都存在x2∈[0，π2]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，则下列选项中，θ可能的值是（ ）A．3π5 B．4π5 C．6π5 D．7π59．（2021•浙江）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3考点五三角函数的单调性10．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x−π6）单调递增的区间是（ ）A．（0，π2） B．（π2，π） C．（π，3π2） D．（3π2，2π）考点六三角函数的奇偶性和对称性11．（2019•浙江）设函数f（x）＝sinx，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域．考点七函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换12．（2022•浙江）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+π5）图象上所有的点（ ）A．向左平移π5个单位长度 B．向右平移π5个单位长度 C．向左平移π15个单位长度 D．向右平移π15个单位长度考点八由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式13．【多选】（2020•海南）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（ ）A．sin（x+π3） B．sin（π3−2x） C．cos（2x+π6） D．cos（5π6−2x）14．（2023•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y=12与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|=π6，则f（π）＝ ．考点九三角恒等变换15．（2023•新高考Ⅰ）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，则cos（2α+2β）＝（ ）A．79 B．19 C．−19 D．−7916．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝22cos（α+π4）sinβ，则（ ）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣117．（2019•上海）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（ ）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对18．（2022•浙江）若3sinα﹣sinβ=10，α+β=π2，则sinα＝ ，cos2β＝ ．19．（2023•上海）已知tanα＝3，则tan2α＝ ．20．（2020•浙江）已知tanθ＝2，则cos2θ＝ ，tan（θ−π4）＝ ．21．（2023•新高考Ⅱ）已知α为锐角，cosα=1+54，则sinα2=（ ）A．3−58 B．−1+58 C．3−54 D．−1+5422．（2021•浙江）设函数f（x）＝sinx+cosx（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x−π4）在[0，π2]上的最大值．考点十正余弦定理的应用23．（2023•上海）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝ ．24．（2021•浙江）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝ ；cos∠MAC＝ ．25．（2019•上海）在△ABC中，AC＝3，3sinA＝2sinB，且cosC=14，则AB＝ ．26．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．27．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sinB﹣sinC＝1，求C△ABC．28．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．29．（2020•浙江）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA−3a＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．30．（2020•山东）在①ac=3，②csinA＝3，③c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=3sinB，C=π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．31．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．32．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B．（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值．33．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3=32，sinB=13．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC=23，求b．34．（2022•浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5c，cosC=35．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．考点十一三角形中的几何计算35．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝ ．36．（2021•浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则S1S2= ．37．（2019•浙江）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝ ，cos∠ABD＝ ．38．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1．（1）若∠ADC=π3，求tanB；（2）若b2+c2＝8，求b，c．39．（2022•上海）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．40．（2019•上海）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求BC的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）公众号：高中试卷君