2023巴西趣味数学奥林匹克(OMPD)中文翻译

2023巴西趣味数学奥林匹克(OMPD)中文翻译等级三1.求所有函数,使得对于所有实数和,均有2.设是内切于圆的凸五边形,满足.设和分别是与的交点,以及与的交点.证明：(1)(2)注：表示多边形的面积.3.休伯特和卢西亚诺利用课间休息时间玩以下游戏：休伯特在一张绿纸上写下一组不同的正整数,然后将它交给卢西亚诺.然后,卢西亚诺在黑板上写出所有可能的和,这些和由绿纸上写的一个或多个不同的数字相加而成,且不重复.例如,如果休伯特在绿纸上写下,和,那么卢西亚诺会在黑板上写下,,,,和.(1)令为正整数.确定所有满足条件的正整数,使得休伯特可以写出一个包含个数字的绿纸列表,以确保卢西亚诺会在黑板上写出恰好个数字.(2)现在卢西亚诺决定在一张黄纸上写下个不同的正整数.确定最小的正整数,以便卢西亚诺可以编写这个列表,以便无论休伯特在绿纸上写下什么列表,最多包含个数字,都不会出现黄纸上的所有数字都被写在黑板上.4.是否存在整数,使得对于任意实数如果和都是整数,那么是整数.等级二1.一些朋友组成了支足球队,并决定举行一场锦标赛,每支队伍之间只比赛一次.在每场比赛中,获胜的队伍得到分,失败的队伍不得分,如果两支队伍打成平局,各自得到分.锦标赛结束后,发现队伍的得分分别为,,,,和分.就这个锦标赛,请回答以下问题,每个问题都需要附带理由.(1)锦标赛中有多少场比赛打成平局?(2)对于这支队伍中的每一支,请确定其获胜,打成平局和失败的次数.(3)如果我们只考虑在得分为分的队伍与得分为分的两支队伍之间的比赛,以及两支得分为分的队伍之间的比赛,请解释为什么在这三场比赛中至少有场打成平局.2.寻找所有实数对,使得对于所有正整数,是一个完全平方数.3.对于每个正整数,令表示不与有相同质因数的介于的整数个数.确定所有正整数,使得存在不同的正整数,使得集合：包含正好个连续整数（以某种顺序）.4.设为一不等边锐角三角形,其外接圆心为.设为位于边上的一点.定义为射线与圆的第二个交点.设为点关于直线的对称点.证明:当且仅当线段垂直于线段时,和相切.等级U1.对于每个正整数,令表示不与有相同质因数的介于的整数个数.确定所有正整数,使得存在不同的正整数,使得集合：包含正好个连续整数（以某种顺序）.2.设为一个固定的圆,为一个固定实数,为一系列正实数.两只蚂蚁和以相反的方向沿着的周长行走,从相同的起点出发.蚂蚁以恒定速度行走,而蚂蚁具有初始速度.对于每个正整数,当这两只蚂蚁第次碰撞时,它们改变绕着周长行走的方向,蚂蚁保持速度,而蚂蚁停下以速度行走,然后以速度行走.(1)如果数列严格递增,且,证明在中存在一点,蚂蚁会无限多次经过该点.(2)证明存在一个数列,其中,使得蚂蚁会无限多次经过圆上的所有点.3.设和为正整数,满足,令为集合的个子集.证明我们可以将集合的元素排列在一个圆上,使得对于任意相邻的元素和,集合恰好有个元素.注：表示独占于集合或独占于集合的元素构成的集合.4.令为整数,是一个可积函数,满足以下条件：证明：