【参考答案】2024年新高考改革适应性练习（5）（九省联考题型）

2024年新高考改革适应性练习（5）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号12345678答案CABDACBD二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案ACBDACD【附】评分表9-11题（每题满分6分）得分情况正确选项个数2个（如AC）选对1个（选A或C）3分选对2个（选AC）6分3个（如ACD）选对1个（选A或C或D）2分选对2个（选AC或CD或AD）4分选对3个（选ACD）6分三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案3N-6,779四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）（1）由题意，A+B+C=π，所以csinB+C2=asinC⟺csinπ-A2=asinC⟺ccosA2=asinC正弦定理边化角得sinCcosA2=sinAsinC⟺cosA2=sinA=2sinA2cosA2⟺sinA2=12解得A=π3，所以A的值是π3．（2）由向量积的定义，AB·AC=c·b·cosA=12bc=2即bc=4，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-4由基本不等式，b2+c2-4≥2bc-4=4所以a2≥4，即a≥2，当且仅当b=c=2，即△ABC是等边三角形时等号成立．故a的最小值是2．16.（15分）（1）由差数列的定义，数列2n的一阶差数列为2n-2n-1=2n-1数列2n的二阶差数列为2n-1的一阶差数列，即2n-1-2n-2=2n-2故数列2n的二阶差数列为2n-2．（2）通过找规律得，2n的m阶差数列为2n-m下面进行证明．我们采用数学归纳法进行证明：①（归纳奠基）当m=1时，显然成立；m=2时，由（1）得结论也成立．②（归纳递推）我们假设该结论对m=kk≥3时成立，尝试证明对m=k+1时也成立．由差数列的定义，2n的k+1阶差数列即2n的k阶差数列的一阶差数列，即2n-k-2n-k-1=2n-k-1故该结论对m=k+1时也成立．数学归纳法证毕．故2n的m阶差数列为2n-m．该数列是以21-m为首项，2为公比的等比数列，故其前n项和S=a11-qn1-q=21-m1-2n1-2=2n+1-m-21-m故2n的m阶差数列为2n-m，其前n项和S=2n+1-m-21-m．17.（15分）（1）fx=ax-lnx+1,x>-1，f'x=a-1x+1，注意到f0=0，由题意x=0是fx的极值点，所以f0=a-1=0，解得a=1．故a的值是1．代入原函数验证得，fx有且仅有一个零点0，有且仅有一个极值点0，结论成立．（2）首先注意到f0=0，fx=ax-lnx+1,x>-1，f'x=a-1x+1，f'0=a-1，①若a≤0，则f'x<0，fx单调递减，则对所有x>0，fx0，fε0时，gx>g0=a-1≥0，即f'x>0，所以fx在0,+∞上单调递增，则对所有x>0，fx>f0=0，符合题意，该情况成立．综上所述，a的取值范围是1,+∞．18.（17分）（1）记蚂蚁爬行n次在底面ABCD的概率为Pn，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底面，结合题意易得，P1=23，Pn+1=13Pn+231-Pn，Pn+1-12=-13Pn-12，所以Pn-12是首项为16，公比为-13的等比数列，Pn-12=16-13n-1,Pn=12+16-13n-1（2）结合题意易得：X=0,1,2，当X=2时，蚂蚁第3次、第5次都在C处，PX=2=16×16×2×23+16×23×2×16+16×23×2×16×23×23+16×16+16×16=118当X=1时，蚂蚁第3次在C处或第5次在C处，设蚂蚁第3次在C处的概率为P1，P1=16×16×2×23+16×23×2×16+16×23×2×16×16×56+16×56+23×13=118设蚂蚁第5次在C处的概率为P2，设蚂蚁不过点C且第3次在D1的概率为P3，设蚂蚁不过点C且第3次在B1的概率为P4，设蚂蚁不过点C且第3次在A的概率为P5，由对称性知，P3=P4，P3=16×16×16×4+23×16×23×3=1354又P5=16×23×16×6+23×23×23=1127得P2=2P3×16×23×2+P5×16×16×2=754∴PX=1=P1+P2=527PX=0=1-PX=1-PX=2=4154X的分布列为：X012P527118X的数学期望EX=0×PX=0+1×PX=1+2×PX=2=82719.（17分）（1）设复数z=a+bia,b∈R，则z2-z2-9=a2+b2-a2-b2-92+4a2b2=7⟺a2-b2-92+4a2b2=a2+b2-7两边平方得a2-b2-92+4a2b2=a2+b22+49-14a2+b2⟺a2-8b2=8⟺a28-b2=1所以W是一个焦点在实轴上，顶点为±22,0，渐近线为y=±24x的双曲线．其离心率e=222+1222=324（2）由（1）的计算得L=22，e=324，F1c,0=3,0，则直线x=Le=83，设z=a+bia,b∈R,a>0，则d=a-83=a-83，ed=324a-83=324a-22ZF1=a-32+b2由a28-b2=1得b2=a28-1，代入得ZF1=a-32+b2=a-32+a28-1=98a2-6a+8=324a-222=324a-22=ed所以ZF1=ed，原式得证．（3）由（1）得W的两条渐近线l1:y=24x，l2:y=-24x，由对称性，不妨设z=a+bia,b∈R,a>0，则kl3=kl1=24，所以l3:y=24x-a+b，同理得l4:y=-24x-a+b．联立l2和l3：y=-24xy=24x-a+b得Pa2-2b,b2-28a，易知直线OZ:bx-ay=0，所以点P到直线OZ的距离d=ba2-2b-ab2-28aa2+b2=28·8b2-a2a2+b2由（1）a2-8b2=8，所以d=28·8b2-a2a2+b2=28·8a2+b2=2a2+b2而OZ=a2+b2，所以S△OPZ=12·d·OZ=12×2a2+b2×a2+b2=22S▱OPQZ=2S△OPZ=2故平行四边形OPQZ的面积为定值2．