【试卷PDF版】2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）

2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.6）考生须知1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设样本空间훺={1,2,…,6}包含等可能的样本点，且퐴={1,2,3,4}，퐵={3,4,5,6}，则푃(퐴퐵)=1111A．B．C．D．34562.若复数푧满足푧2是纯虚数，则|푧−2|的最小值是A．1B．√2C．2D．2√23.算术基本定理告诉我们，任何一个大于1的自然数푁，如果푁不为质数，那么푁可以唯一分解成有限个素因数的乘积的形式．如，60可被分解为22×31×51，45可被分解为32×51．任何整除푁的正整数푑都叫作푁的正因数．如，20的正因数有1，2，4，5，10，20．则4200的正因数个数是A．4B．7C．42D．48114.已知点(푎,푏)在直线2푥+푦−1=0第一象限的图像上，则+的最小值是푎푏A．3+2√2B．2+2√2C．1+2√2D．2√25.已知函数푓(푥)=sin푥，푔(푥)=cos푥，则푓(푔(푥))和푔(푓(푥))都单调递增的一个区间是2휋4휋4휋6휋6휋8휋8휋A．(,)B．(,)C．(,)D．(,2휋)5555555数学试题卷第1页（共4页）{#{QQABTQKUogCAQAAAAQgCEwXICgKQkAECAAoGRAAAIAAAiAFABAA=}#}6.已知直线푙过点(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6，则满足条件的直线푙共有A．1条B．2条C．3条D．4条7.我们记푓(푛)(푥)为函数푓(푥)的푛次迭代，即푓(1)(푥)=푓(푥)，푓(2)(푥)=푓(푓(푥))，…，푓(푛)=푓(푓(푛−1)(푥))．已知函数푔(푥)=푥|푥|，则푔(2024)(푥)=A．푥3|푥|2021B．푥4|푥|2020C．푥2|푥|2022D．푥20248.若一四面体恰有一条长度大于1的棱，则这个四面体体积的最大值是√311√2A．B．C．D．3232二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.已知函数푓(푥)=푥3−2푥，下列说法正确的是A．函数푔(푥)=푓(푥)+푓′(푥)无零点B．直线2푥+푦=0与푦=푓(푥)相切C．存在无数个푎>0，푓(푥)在区间(−푎,푎)上不单调D．存在푚>0，使得对于任意푛，푓(푛)≤푓(푛+푚)10.若一个人一次仅能爬1级或2级台阶，记푎푛为爬푛级台阶时不同的爬法数∗(푛∈푁)．关于数列{푎푛}，下列说法正确的是A．函数푓(푛)=푎푛单调递增B．푎1+푎3+푎5的值为12222C．푎1+푎2+⋯+푎10=232D．2푎1+푎2+⋯+푎10=89×14411.如右图，已知抛物线퐶的焦点为퐹，准线方程为푙:푥=−1，点푃是퐶上的一动点．过点푃作푙的垂线，垂足为푄．过点푃作퐶的切线，该切线与푥,푦轴分别交于퐴,퐵两个不同的点．下列说法正确的是A．抛物线퐶的标准方程为푦2=2푥B．푄,퐵,퐹三点共线当且仅当|푃퐹|=4C．当|푃퐹|≠1时，都有푃퐴⊥푄퐹D．当|푃퐹|≠1时，△푃퐴퐹恒为等腰三角形数学试题卷第2页（共4页）{#{QQABTQKUogCAQAAAAQgCEwXICgKQkAECAAoGRAAAIAAAiAFABAA=}#}三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.在棱长为1的正方体퐴퐵퐶퐷−퐴1퐵1퐶1퐷1中，三棱锥퐶−퐴퐵1퐷1的体积是_________．13.从集合{푥|−4≤푥≤2024}中任选2个不同的非零整数作为二次函数푓(푥)=푎푥2+푏푥的系数，则所有满足푓(푥)的顶点在第一象限或第三象限的有序数对(푎,푏)共有_________组．14.已知向量풂,풃,풄满足풂+풃+풄=ퟎ，(풂−풃)⊥(풂−풄)，|풃−풄|=3，则|풂|+|풃|+|풄|的最大值是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知正方体퐴퐵퐶퐷−퐴1퐵1퐶1퐷1．（1）证明：퐴퐷1⊥퐴1퐶；（2）求二面角퐵−퐴1퐶−퐷．16.（15分）已知定义在푅上的函数푓(푥)=푎푥4+푏푥3+푐푥2+푑푥(푎≠0)．（1）若原点是푓(푥)的一个极值点，证明：푓(푥)的所有零点也是其所有极值点；（2）若푓(푥)的4个零点成公差为2的等差数列，求푓′(푥)的最大零点与最小零点之差．17.（15分）푥2푦2设点푆(1,1)在椭圆퐶:+=1(푎>푏>0)内，直线푙:푏2푥2+푎2푦2−푎2푏2=0．푎2푏2（1）求푙与퐶的交点个数；（2）设푃为푙上的动点，直线푃푆与퐶相交于푀,푁两点．给出下列命题：111①存在点푃，使得,,成等差数列；|푃푀||푃푆||푃푁|②存在点푃，使得|푃푀|,|푃푆|,|푃푁|成等差数列；③存在点푃，使得|푃푀|,|푃푆|,|푃푁|成等比数列；请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题．（若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分．）数学试题卷第3页（共4页）{#{QQABTQKUogCAQAAAAQgCEwXICgKQkAECAAoGRAAAIAAAiAFABAA=}#}18.（17分）2024部分省市的高考数学推行8道单选，3道多选的新题型政策．单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对6分，部分选对部分分（此处直接视作3分），不选得0分．现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他11题均认为是单选题来做．假设两人选对一个单选题的概率都1是，且已知这四个多选题都只有两个正确答案．4（1）记小周选择题最终得分为푋，求퐸(푋)．（2）假设小李遇到三个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李1也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是푝(푝≥)，请你帮小李制定003回答4个多选题的策略，使得分最高．19.（17分）信息论之父香农（Shannon）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关．香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量푋所有取值为1,2,…,푛，且푃(푥=푖)=푃푖>0（푖=1,2,…,푛），푃1+푃2+⋯+푃푛=1，定义푋的信息熵푛퐻(푋)=−∑푃푖log2푃푖푖=1（1）当푛=1时，求퐻(푋)的值；1（2）当푛=2时，若푃∈(0,)，探究퐻(푋)与푃的关系，并说明理由；1211（3）若푃=푃=，푃=2푃(푘=2,3,⋯,푛)，求此时的信息熵퐻(푋)．122푛−1푘+1푘数学试题卷第4页（共4页）{#{QQABTQKUogCAQAAAAQgCEwXICgKQkAECAAoGRAAAIAAAiAFABAA=}#}