2023年数学九年级上册北师大版专题04 一元二次方程及其解法（原卷版）

专题04一元二次方程及其解法一元二次方程的定义1.（2022秋·福建福州·九年级统考期中）下列方程是一元二次方程的是（    ）A． B．C． D．2．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）方程化为一般形式后一次项系数和常数项分别是（    ）A．， B．， C．， D．，3.（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）若关于x的一元二次方程有一个解为，则．4.（2022秋·北京·九年级校考期中）已知m是方程的一个根，求的值一元二次方程根与系数的关系5.（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ）A．5 B．1 C． D．6.（2023春·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）设a，b是方程的两个实数根，则；．7．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）已知m，n是方程的两个根，则的值为．8．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．解一元二次方程—直接开平方法9.（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）方程的解为（ ）A． B． C． D．10.（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么a的取值范围是（    ）A． B． C． D．11.（2022秋·广东惠州·九年级惠州一中校考期中）方程的根是．12.（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）定义一种运算“”，其规则为，则方程的解为．解一元二次方程—配方法13.（2023春·山东济南·九年级校考期中）用配方法解一元二次方程：，配方后得（    ）A． B． C． D．14．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（    ）A．，7 B．，7 C．2， D．2，715.（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）用配方法解方程，方程可变形为，则，．16.（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程．(1)求值；(2)用配方法解这个方程．17.（2020秋·辽宁锦州·九年级统考期中）先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值．解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4，（y＋2）2≥0，（y＋2）2＋4≥4y²＋4y＋8的最小值是4（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；（2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值．解一元二次方程—分式法18.（2019秋·广东广州·九年级广州市第七十五中学校考期中）一元二次方程的根的情况是（    ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定19.（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数，则的取值围是（  ）A． B． C． D．20.（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．21．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围．解一元二次方程—因式分解法22．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）一元二次方程的根是（    ）A． B． C． D．，23.（2020秋·广东广州·九年级校考期中）方程的根是．24.（2022秋·湖南益阳·九年级校考期中）腰与底边不相等的等腰三角形的两边长是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为．25．（2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中）解下列方程：(1)；(2)．26．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）先化简，再求值，其中是方程的根．解一元二次方程—换元法27．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）若，则的值是（    ）A．2 B．3 C．或3 D．2或28.（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）已知，则的值为．29．（2021秋·福建漳州·九年级校联考期中）关于x的方程．(1)已知a，c异号，试说明此方程根的情况；(2)若该方程的根是，试求方程的根．一、单选题1．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）设方程的两个根为，，那么的值等于（    ）A． B． C．1 D．2．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则其中正确的：（    ）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④3．（2020秋·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（   ）A．6cm2 B．7cm2 C．12cm2 D．19cm24．（2019秋·河北石家庄·九年级统考期中）如图：一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行  1个点，第二行2个点……第行有个点……，若10是前4行之和，则465是前（    ）行之和.A．20 B．25 C．28 D．30二、填空题5．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）已知分别为（）的三边的长，则关于的一元二次方程根的情况是．6．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是7．（2020秋·广东惠州·九年级惠州市惠阳区第一中学校考期中）设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程的两根，c，d是方程的两根，那么的值为．8．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有（填序号）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，则；③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，则必有．三、解答题9．（2022秋·江苏·九年级期中）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程的解是：=0，=______，=_______；（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．  10．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：方程有两个实数根；(2)若，方程的两个实数根分别为（其中），若y是m的函数，且，求这个函数的解析式．(3)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值．11．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）阅读材料：材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．材料2：已知实数，满足，，且，求的值．解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以根据上述材料解决以下问题：(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．