2023年数学九年级上册北师大版专题04 一元二次方程及其解法（解析版）

专题04一元二次方程及其解法一元二次方程的定义1.（2022秋·福建福州·九年级统考期中）下列方程是一元二次方程的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可．【详解】∵一元二次方程：等式两边都是等式，只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，∴A、属于一元二次方程，符合题意；B、不是等式方程，不符合题意；C、含有个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，学会识别一元二次方程．2．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）方程化为一般形式后一次项系数和常数项分别是（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根据题意，将方程化为一般形式即可求解．一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：化为一般形式：，∴一次项系数和常数项分别是，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．3.（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）若关于x的一元二次方程有一个解为，则．【答案】【分析】把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次项系数．【详解】解：把代入，得到：，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，同时也考查了一元二次方程的定义．4.（2022秋·北京·九年级校考期中）已知m是方程的一个根，求的值【答案】【分析】由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的求值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的求值是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系5.（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ）A．5 B．1 C． D．【答案】C【分析】根据根与系数的关系求出，即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．6.（2023春·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）设a，b是方程的两个实数根，则；．【答案】【分析】根据根与系数的关系以及根的定义可得，，，代入求值即可．【详解】解：根据题意，得，，，∴，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的定义，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．当是一元二次方程的两根时，则有．7．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）已知m，n是方程的两个根，则的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可．【详解】解：∵m，n是方程的两个根，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．8．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得根的判别式，据此得到不等式求解即可；（2）由根与系数的关系可得；然后代入，求出m的值即可．【详解】（1）解：∵方程有实数根，∴，整理得，解得，∴实数m的取值范围是．（2）解：由题意得：，∵，∴，即∴，整理得：，解得：（不符合要求，舍去）或，∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别和根与系数的关系是解题的关键．解一元二次方程—直接开平方法9.（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）方程的解为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．【详解】解：方程，开方得：或，解得：．故选：A．【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．10.（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用解一元二次方程－直接开平方法，进行计算即可解答．【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程－直接开平方法是解题的关键．11.（2022秋·广东惠州·九年级惠州一中校考期中）方程的根是．【答案】【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程．【详解】解：由原方程，得．解得．故答案是：．【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．12.（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）定义一种运算“”，其规则为，则方程的解为．【答案】，【分析】先根据新定义得到，再移项得，然后利用直接开平方法求解．【详解】解：∵，∴，∴，所以，．故答案为：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么．解一元二次方程—配方法13.（2023春·山东济南·九年级校考期中）用配方法解一元二次方程：，配方后得（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】配方法解方程，首先将常数项移到等号右边，再将二次项系数化为1，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边变形为完全平方式，化为平方形式，即可开方求解．【详解】解：；故选：A．【点睛】此题考查了配方法，选用配方法解一元二次方程时，最好使方程未知数的二次项系数为1，一次项系数是2的倍数，理解完全平方公式的特征，掌握变形步骤是解题的关键．14．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（    ）A．，7 B．，7 C．2， D．2，7【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵，∴，配方得，即，∴，故选：A．【点睛】本题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的过程．15.（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）用配方法解方程，方程可变形为，则，．【答案】532【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：，∴，∴，即，∴，．故答案为：5，32【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．16.（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程．(1)求值；(2)用配方法解这个方程．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据一元二次方程的定义即可求解；（2）将的值代入原方程，并将方程化为一元二次方程的一般形式，把常数项移到方程的右边，两边加上一次项系数一半的平方，化为，进行直接开平方即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，解得．（2）解：当时，原方程为，整理得：，，，，，，．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程，掌握定义及配方法的步骤是解题的关键．17.（2020秋·辽宁锦州·九年级统考期中）先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值．解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4，（y＋2）2≥0，（y＋2）2＋4≥4y²＋4y＋8的最小值是4（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；（2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值．【答案】（1）3；（2），有最小值为4【分析】（1）利用配方法把化为，根据平方的非负性解答即可；（2）利用配方法把原始变形，根据平方的非负性解答即可．【详解】（1），，的最小值为3；（2），，，当，即时，有最小值为4．【点睛】本题考查配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．解一元二次方程—分式法18.（2019秋·广东广州·九年级广州市第七十五中学校考期中）一元二次方程的根的情况是（    ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【答案】C【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．【详解】解：，所以方程无实数根．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．19.（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数，则的取值围是（  ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式的方法即可求解．【详解】解：一元二次方程中，，∴，∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解一元一次不等式的方法的综合，掌握根的判别式的运用，求不等式的解集的方法是解题的关键．20.（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，解得：，的值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．21．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围．【答案】(1)见解析．(2)．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到，．根据题意得到，即可求得k的取值范围．【详解】（1）解：，∴方程总有实数根；（2）解：∵，∴，解方程得：，，由于方程有一个根不小于7，∴，解得：．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．解一元二次方程—因式分解法22．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）一元二次方程的根是（    ）A． B． C． D．，【答案】D【分析】先移项，再把方程的左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴或，解得：故选：D．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．23.（2020秋·广东广州·九年级校考期中）方程的根是．【答案】，【分析】原方程的左边是两个一次因式乘积的形式，而方程的右边为0，可令每个一次因式的值为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解．【详解】解：∵，∴或，解得：，．故答案为，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解．24.（2022秋·湖南益阳·九年级校考期中）腰与底边不相等的等腰三角形的两边长是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为．【答案】10【分析】先解方程得到或4，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系求出各边长即可解答．【详解】解