2023年数学九年级上册北师大版专题07 概率的实际应用（解析版）

专题07概率的实际应用用概率说明游戏的公平性1．（2021秋·福建福州·九年级校考期中）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（    ）A．是公平的 B．对乙有利 C．对甲有利 D．以上都不对【答案】A【分析】甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有18种，据此计算两种情况的概率即可.【详解】解：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有18种，两者之和为偶数的概率为，则两者之积为奇数的概率为，，故选择A.【点睛】本题考查了利用概率判断游戏的公平性，掌握概率的计算是解题的关键.2．（2023春·四川绵阳·九年级统考期中）小明、小颖、和小凡都想去看山西第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去．游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜．关于这个游戏，下列判断正确的是（   ）A．三个人获胜的概率相同B．小明获胜的概率大C．小颖获胜的概率大D．小凡获胜的概率大【答案】D【分析】利用树状图法得出所有的可能，进而分别求出获胜的概率即可．【详解】解：如图所示：，随机掷一枚均匀的硬币两次，可能的情况为：正正、正反、反正、反反，∴P（小明）=，P（小颖）=，P（小凡）=．故选：D．【点睛】本题主要考查了游戏公平性，正确利用树状图法求概率是解题关键．3.（2019秋·山西太原·九年级统考期中）“十·一”期间，某服装店为了吸引更多的顾客购买服装，在．店门口设计了一个转转盘促销活动：当顾客转动转盘，根据指针指示返还相应的现金，若指针指在分界线时，需要重新转动，直到指向数字为止，购买几件服装就转动几次转盘．李女士购买了两件服装，她得到返还的现金数不低于元的概率是．【答案】【分析】列举出所有情况，让她获得现金数不低于50元的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】解：由题意得，李女士能转动2次转盘，2次可能得到的情况为：(10，10)，(10，20)，(10，30)，(10，40)，(20，10)，(20，20)，(20，30)，(20，40)，(30，10)，(30，20)，(30，30)，(30，40)，(40，10)，(40，20)，(40，30)，(40，40)共计16种，她获得现金数不低于50元的情况数：1+2+3+4=10∴李女士获得现金数不低于50元的概率是：10÷16=故答案为：【点睛】本题考查的是列举法求两步事件的概率，注意随机转两次转盘，属于放回事件．4．（2019秋·河南新乡·九年级校考期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个自然数，然后同时呈现出来．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜．这个游戏对双方．（填“公平”或“不公平”）．【答案】公平【详解】分析：根据题意画出符合要求的树状图，列出所有等可能的结果，并由此计算出两人各自获胜的概率进行比较，即可得到结论.详解：根据题意画出树状图如下：由图可知：共有四种等可能结果出现，其中小明获胜的有两种，小亮获胜的也有两种，∴P（小明获胜）=，P（小亮获胜）=，∴P（小明获胜）=P（小亮获胜），∴该游戏是“公平”的.故答案为公平.点睛：本题的解题要点有两点：（1）能够画出符合题意的树状图；（2）在一个游戏中，当游戏双方获胜的概率相等时，游戏是公平的；当游戏双方获胜的概率不等是，游戏是不公平的.5.（2023春·四川南充·九年级统考期中）我区某学校根据《成都市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了“器乐，体锻，科创，书法，美术，课本剧，棋类……”等课程供学生自由选择，半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图．请根据图中信息，解答下列问题：(1)将条形统计图补充完整；(2)表示等级C的扇形的圆心角是______度；(3)由于学校条件限制，“科创”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．【答案】(1)见解析(2)60(3)，，不公平，见解析【分析】（1）由A等级人数及其所占百分比求出总人数，总人数减去A、C、D等级人数求出B等级人数，从而补全图形；（2）用360°乘以等级C所占的百分比即可得出答案；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案．【详解】（1）调查的总人数是：15÷25%＝60（人），B等级的人数有：60−15−10−10＝25（人），补全统计图如下：（2）等级C的扇形的圆心角是：360°×故答案为：60（3）画树状图如下：一共有16种等可能结果，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种．故，．∵    ∴这个规则对双方不公平．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求扇形统计图圆心角度数，画树状图法求概率，游戏公平性．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．概率在抽奖中的应用6.（2017秋·浙江湖州·九年级统考期中）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（ ）A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②①【答案】A【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③，故选A．7.（2019·浙江丽水·九年级校考期中）一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要位．【答案】3．【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数时一次就拨对密码的概率，再根据一次就拨对密码的概率小于解答即可．【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为，取两位数时一次就拨对密码的概率为，取三位数时一次就拨对密码的概率为，故密码的位数至少需要3位．故答案为3．【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．8.（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：转动转盘的次数落在“手工”区域的次数落在“手工”区域的频率(1)求出的值；(2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到）【答案】(1)，(2)，【分析】(1)根据频率频数总数求解即可；(2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率．【详解】（1）解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为，∴，∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为，∴，（2）解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：,∴当n很大时，频率将会接近，∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是．故答案为：，．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键．9．（2019秋·浙江湖州·九年级校考期中）某商场为了吸引更多的顾客,安排了一个抽奖活动,并规定:顾客每购买100元商品,就能获得一次抽奖的机会.抽奖规则如下:在抽奖箱内,有100个牌子,分别写有1,2,3,…,100共100个数字,抽到末位数是5的可获20元购物券,抽到数字是88的可获200元购物券,抽到66或99的可获100元购物券.某顾客购物用了130元,他获得购物券的概率是多少?他获得20元、100元、200元购物券的概率分别是多少?【答案】P(获得购物券)=，P(获得20元购物券)=，P(获得100元购物券)=，P(获得200元购物券)=【详解】试题分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．试题解析：顾客的消费额在100元到200元之间,因此可以获得一次抽奖的机会.在抽奖箱内,写有66,88,99的牌子各有1个,末位数字是5的牌子有10个.因此P(获得购物券)=,P(获得20元购物券)=,P(获得100元购物券)=,P(获得200元购物券)=.概率在比赛中的应用10.（2019·浙江杭州·九年级统考期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ）A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题【答案】D【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断．【详解】解：①若两次求助都用在第1题，假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1，因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为，故此时该选手通关的概率为：；②若在第1第2题各用一次求助，假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是，第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，因此第一题答对的概率为：，第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为，故此时该选手通关的概率为：；③两次求助都用在第2题，画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，  共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：.∵，∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，故选：D．【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．11.（2018秋·山西·九年级统考期中）如图是计算机中“扫雷游戏的画面，在小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷.小红在游戏开始时随机踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为区域（画线部分），区域外的部分记为区域，数字1表示在区域中有1颗地雷，那么第二步踩到地雷的概率区域区域（填“”“”“”）.【答案】=【分析】分别求出A区域踩到地雷的概率和B区域踩到地雷的概率即可.【详解】∵A区域踩到地雷的概率为，B区域踩到地雷的概率为，∴第二步踩