2023年数学九年级上册北师大版专题03 四边形中常见的几种模型(原卷版)

专题03四边形中常见的几种模型中点四边形模型1．（2021秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．当AC＝BD时，它是轴对称图形D．当AC＝BD时，它是矩形2．（2022秋·广东佛山·九年级统考期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（ ）A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CDC．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD3．（2018春·江苏无锡·九年级校考期中）如图，已知E、F、G、H分别是矩形四边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形EFGH的周长为16cm，则矩形ABCD的对角线长等于cm．4．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．“十字架”模型5．（2021春·安徽淮南·八年级校联考期中）数学活动：探究正方形中的十字架（1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系：．（2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗?如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由．（3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为．6．（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）如图，在矩形的边上取一点，连接，使得，在边上取一点，使得，连接．过点作于．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．对角互补模型7．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点．①试探究与的数量关系，并说明理由；②若，，求的长．8．（2023春·江西抚州·八年级统考期末）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.含60°角的菱形模型9．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点为原点，交轴于点，连接，交于点，则点的坐标为（ ）A．（） B．（） C．（） D．（）10．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知菱形的边长为，，点是边的中点，为的中点，与相交于点，则的长等于．  11．（2021秋·陕西榆林·九年级榆林市第一中学分校校考期中）如图，在菱形ABCD中，，，则菱形ABCD的面积是．12．（2018秋·山西太原·九年级统考期中）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE=BF=DH=DG．(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)已知∠B=60°，AB=6．请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是 ．B题：当BE= 时，矩形EFGH的面积是8．半角模型13．（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接(1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程．(2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程．14．（2021秋·山东济南·九年级统考期中）问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形ABCD中，，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．(1)探究发现：小明同学的方法是将绕点A逆时针旋转120°至的位置，使得AB与AD重合，然后证明，从而得出结论：____________；(2)拓展延伸：如图②，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．(3)尝试应用：在（2）的条件下，若，，求正方形ABCD的边长．垂美四边形15．（2023春·全国·八年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则．16．（2019秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出AB2、CD2、AD2、BC2的数量关系： ．（2）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长（可直接利用（1）中性质）17．（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．(1)如图1，四边形是垂美四边形，用等式表示之间的数量关系并证明；(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接分别交D于点，若，，求线段的长．18．（2022春·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）如图，在中，，是的中线，与相交于点，点分别是的中点，连接，若要使得四边形是正方形，则需要满足条件（  ）A． B．C．且 D．且（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，已知菱形的边长为4，对角线相交于点O，点分别是边上的动点，，连接，与相交于点E．证明：①点是等边三角形；②求的最小值；20．（2020秋·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时，CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中，AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．21．（2017秋·吉林长春·九年级校考期中）【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AC、BC上，且DE∥AB，易证AD＝BE（不需要证明）.【探究】连结图①中的AE，点M、N、P分别为DE、AE、AB的中点，顺次连结M、N、P，其它条件不变，如图②，求证：△MNP是等腰直角三角形.【应用】将图②中的点D、E分别移动到AC、BC的延长线上，其它条件不变，在连结BD，并取其中点Q，顺次连结M、N、P、Q，如图③，若＝，且DE＝，则四边形MNPQ的面积为.22．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）已知正方形，E为对角线上一点．【建立模型】(1)如图1，连接，，求证：；【模型应用】(2)如图2，F是延长线上一点，，交于点G．①判断的形状并说明理由；②若G为的中点，且，求的长．【模型迁移】(3)如图3，F是延长线上一点，，交于点G，，请写出与之间的数量关系，并说明理由．23．（2023春·重庆渝北·八年级重庆市松树桥中学校校考期中）【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点O，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．在我们学过的：①平行四边形  ②矩形  ③菱形  ④正方形中，属于垂美四边形的是__________；（只填序号）【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．  24．（2021秋·山东青岛·九年级统考期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；②DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE+BF；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射