高考数学专题06以双曲线为情境的定值问题（解析版）

双曲线必会十大基本题型讲与练06以双曲线为情境的定值问题典例分析类型一：有关角的定值问题1．已知为坐标原点，双曲线：（，）的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂直渐近线且，可得，从而不妨设，可得及，这样就可得轴，从而可得求解.【详解】易知，于是，故离心率，不妨设，则，，，不难求得，于是轴，所以．2．在平面直角坐标系中，设是双曲线上不同于左顶点、右顶点的任意一点，记，，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】求得双曲线的顶点A，B，设P（m，n），m≠±，代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，以及三角函数的诱导公式，计算可得所求值．【详解】双曲线的a＝，A（﹣，0），B（，0），设P（m，n），m≠±，则﹣＝1，即n2＝4（﹣1），则tanα＝，tan（π﹣β）＝﹣tanβ＝，则﹣tanαtanβ＝＝，即tanαtanβ＝﹣。类型二：有关斜率的定值问题1．设双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，A、B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线MA的斜率，则MB的斜率（       ）A．24 B． C．24 D．【答案】D【解析】【分析】由可得，然后设M（s，t），A（m，n），则B（﹣m，﹣n），然后由1，1可得，然后得到的值即可.【详解】由题意可得，即有，设M（s，t），A（m，n），则B（﹣m，﹣n），则1，1，两式相减可得，即有，从而可得，因为，所以．2．已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于、两点，点为双曲线上异于、的动点，且直线、的斜率分别为、，若双曲线的离心率为，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简得到，设，，故，得到，计算斜率化简得到答案.【详解】双曲线的离心率为，即，故，即.设，，故，故，，两式相减得到：，故.3．已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则A．-4 B． C．4 D．6【答案】A【详解】设，则，，，两式相减，得，即，即，同理，得，所以；故选A.点睛：本题考查双曲线的弦的中点问题、直线的斜率公式；在处理圆锥曲线的弦的中点问题时，往往利用点差法（将点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减）进行求解，运算量比联立方程小，但要注意验证直线和圆锥曲线是否相交.4．（多选题）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、，则下列说法正确的是（       ）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的方程为C．为定值 D．存在点，使得【答案】BC【分析】求出的值，可判断A选项；求出、的值，可判断B选项；设点，则，可得，利用斜率公式可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，，则，所以，双曲线的渐近线方程为，A错；对于B选项，由题意可得，可得，，，所以，双曲线的方程为，B对；对于C选项，设点，则，可得，易知点、，所以，，C对；对于D选项，由题意可知，，则，，且，所以，，D错.5．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为、，离心率为2，过点斜率不为0的直线l与交于P、Q两点．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)记直线、的斜率分别为、，求证：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由双曲线的顶点坐标、离心率，结合双曲线参数的关系求a、b，进而写出双曲线方程，即可得渐近线方程.（2）讨论l的斜率：当不存在求P、Q的坐标，进而可得；当存在，设，，l为，并联立双曲线方程，应用韦达定理及斜率的两点式求证是否成立即可.【解析】(1)设双曲线的半焦距为c，由题设，，，   双曲线的方程为，故渐近线方程为．(2)当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为和，所以，当时有；当时有，此时，当l的斜率k存在时，设，，l为，将直线l代入双曲线方程得，所以，，   因为，所以，即，综上，为定值，得证．类型三：有关距离的定值问题1．已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化【答案】A【解析】根据题意先由，得出直线与双曲线的交点都在左支上，由双曲线的定义可得，，从而得出答案.【详解】由双曲线方程知，，双曲线的渐近线方程为，直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图，所以直线与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，…………(1)，…………(2)，由(1)+(2)得，.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的定义，分析出两个交点的位置是本题的关键，属于中档题.2．已知双曲线C：的左右焦点分别是，，点P是C的右支上的一点（异于顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则（       ）A．随P点变化而变化 B．5C．4 D．2【答案】B【分析】由题设条件结合等腰三角形的性质可得，由双曲线的定义推出，由中位线定理可得，由双曲线的方程可得所求值．【详解】双曲线的左右焦点分别是，，延长交于，是的角平分线，，在双曲线上，，，是的中点，是的中点，是△的中位线，，即，双曲线中，则．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用等腰三角形的性质和中位线定理，考查推理能力．3．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，，点A是双曲线右支上一点，且（O为坐标原点），则（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】由可得，由圆的性质可得，利用勾股定理及双曲线性质可得结果.【详解】由题意，，因为，所以，所以点在以为直径的圆上，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，求解与双曲线性质有关的问题时要结合平面几何进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系，属于中等题.4．已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（       ）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】设直线方程为，直线方程为，且设，将直线分别与双曲线联立，求出，再利用两点间的距离公式即可求解.【详解】由题意设直线方程为，直线方程为，设则，同理，所以，，即.5．已知点为坐标原点，点在双曲线上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为___________．【答案】.【详解】设点，则，直线为；由题意得，解得点；从而，，所以.类型四：有关面积的定值问题1．已知双曲线，过双曲线上任意一点分别作斜率为和的两条直线和，设直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，则的值为________.【答案】【分析】设出点坐标，根据点斜式方程写出的方程，并求出与坐标轴交点的坐标，从而可求出的值，最后计算并化简的结果.【详解】设，所以，令，所以，令，所以，所以；又，令，所以，令，所以，所以；所以.2．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．【答案】(1)；(2)证明见解析，﹒【分析】(1)由双曲线的一个焦点坐标为可求c，根据一条渐近线的倾斜角的正切值为可求，结合a、b、c的关系求解、得到双曲线方程；(2)设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k与m的关系．联立l与渐近线方程求出M和N的坐标，通过，化简即可．【解析】(1)由题可知，解得，则：；(2)由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，令，则，则．联立得，，则，即．双曲线两条渐近线方程为，联立得，，联立得，，，故的面积为定值．类型五：有关定值的逆向问题1．已知点，是双曲线（，）的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值，则（       ）A．2 B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】设点设，，，表示出，的斜率，使与的斜率之积为，得出与的关系，再根据及求解的值，则.【详解】设，，，则，，所以，又因为，所以，．又因为，所以，，所以．【点睛】本题考查双曲线中的定值问题计算，解答的核心在于先根据题目条件列出等量关系式，导出关于，，的关系式来求解.2．已知双曲线（，），、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设点、，则，利用点差法可得出，再利用可求得双曲线的离心率的值.【详解】设、，则，所以，，由点、在双曲线上得，两式相减得，可得，因为，所以，，，因此，.方法点拨定值是证明求解的一个量与参数无关,解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.巩固练习1．是双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的一点，则直线的斜率之积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出、坐标，设出，利用已知条件，列出关系式，求解即可．【详解】∵，是双曲线的左、右顶点，∴，，设，则双曲线，∴，直线，的斜率之积：．2．已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（）A．k1＋k2 B．|k1－k2|C．k1k2 D．【答案】C【解析】【分析】设A(－a，0)，B(a，0)，P(m，n)(m＞0，n＞0)，计算可得k1＝，结合依次分析即得解【详解】由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，设P(m，n)(m＞0，n＞0)，可得即又k1＝，所以k1k2＝，所以k1k2为定值，不为定值；，不为定值；，不为定值。3．已知点O为坐标原点,点M在双曲线C:x2-y2=λ(λ为正常数)上,过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线,垂足为N,则|ON|·|MN|的值为       A． B． C．λ D．无法确定【答案】B【分析】设M（m，n），即有m2-n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．【详解】设M（m，n），即有m2-n2=λ，双曲线的渐近线为y=±x，可得，由勾股定理可得，可得．4．已知双曲线E：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为3x±4y＝0，且过焦点垂直x轴的直线与双曲线E相交弦长为，过双曲线E中心的直线与双曲线E交于A，B两点，在双曲线E上取一点C(与A，B不重合)，直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则k1k2等于（）A． B． C． D．【答案】C【详解】双曲线E的两条渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程(λ>0)，c2＝16λ＋9λ＝25λ，∴F(5，0)．将x＝5代入方程(λ>0)得y＝±，则2×＝，解得λ＝1，故双曲线的方程为.设点A(x1，y1)，则根据对称性可知B(－x1，－y1)，点C(x0，y0)，k1＝，k2＝，∴k1k2＝，且，，两式相减可得，＝.5．（多选题）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（       ）A．双曲线的实轴长为B．双曲线的离心率C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则【答案】BCD【解析】【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误