阿基米德三角形（学生版）

阿基米德三角形【方法技巧与总结】2如图所示，AB为抛物线x=2py(p>0)的弦，A(x1,y1)，B(x2,y2)，分别过A,B作的抛物线的切线交于点P，称△PAB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．1.阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2.若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点Cx0，y0，则另一顶点P的轨迹为一条直线．3.若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．a34.底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为．8p5.若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2．x+xxx6.点P的坐标为12,12；22p7.底边AB所在的直线方程为x1+x2x-2py-x1x2=0;x-x38.△PAB的面积为S=12．△PAB8p9.若点P的坐标为x0,y0，则底边AB的直线方程为x0x-py+y0=0．|AC||CE|10.如图，若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与PA，PB分别交于点C，D，则==|CP||ED||PD|.|DB|11.若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形△PAB的边PA，PB分别交于S点C，D，则△EAB=2．S△PCD212.抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．3【题型归纳目录】题型一：定点问题题型二：交点的轨迹问题题型三：切线垂直问题题型四：面积问题题型五：外接圆问题题型六：最值问题题型七：角度相等问题【典例例题】题型一：定点问题例1.已知点A(0,-1)，B(0,1)，动点P满足|PB||AB|=PA⋅BA．记点P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)设D为直线y=-2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF过定点．x21例2.已知曲线C:y=，D为直线y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．22(1)证明：直线AB过定点．5(2)若以E0,为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．2例3.在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-2上一动点，过点M作抛物线C:x2=y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．(1)证明：MN⊥x轴；(2)直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．变式1.在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-3上的动点，过点M作抛物线C:x2=2y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．(1)证明：MN⊥x轴；(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．题型二：交点的轨迹问题32例4.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为．2(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)设点P(x0，y0)为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；(Ⅲ)过(Ⅱ)中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，求l1，l2交点M满足的轨迹方程．例5.已知动点Q在x轴上方，且到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1，(Ⅰ)求动点Q的轨迹C的方程；(Ⅱ)过点P(1,1)的直线l与曲线C交于A，B两点，点A，B分别异于原点O，在曲线C的A，B两点处的切线分别为l1，l2且l1，l2交于点M，求证：M在定直线上．例6.已知抛物线C．y=ax2(a>0)的焦点为F，直线x=2与x轴相交于点M，与曲线C相交于点N，且4|MN|=|FN|．5(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，求证点A的纵坐标为定值．变式2.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点．(Ⅰ)若以A，B为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16，求抛物线C的标准方程；(Ⅱ)过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，证明：l1，l2的交点在定直线上．变式3.抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，抛物线过点P(p,1)．(Ⅰ)求抛物线C的标准方程与其准线l的方程；(Ⅱ)过F点作直线与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C的准线l上．题型三：切线垂直问题例7.已知抛物线C的方程为x2=4y，点P是抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，点M是AB的中点．(1)求证：切线PA和PB互相垂直；(2)求证：直线PM与y轴平行；(3)求ΔPAB面积的最小值．例8.已知抛物线C的方程为x2=4y，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．(1)若点P坐标为(0,-1)，求切线PA，PB的方程；(2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直．1例9.已知中心在原点的椭圆Γ和抛物线Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆Γ的离心率为，抛物线Γ的顶点为原12122点．(Ⅰ)求椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程；(Ⅱ)设点P为抛物线Γ2准线上的任意一点，过点P作抛物线Γ2的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．p变式4.抛物级x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=-的距离为2．2(1)求抛物线的方程；(2)设直线y=kx+1交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别过A，B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：PF⊥AB．题型四：面积问题3例10.已知抛物线C的方程为x2=2py(p>0)，点Ax,是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．2(1)求抛物线的方程；1(2)点Q为直线y=-上的动点，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为D，E，求ΔQDE面积的最2小值．例11.已知点A(0,2)，动点M到点A的距离比动点M到直线y=-1的距离大1，动点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)Q为直线y=-1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求ΔQDE的面积S的最小值例12.已知点A(-4,4)、B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2，点M的轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的轨迹方程；(Ⅱ)Q为直线y=-1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求ΔQDE的面积S的最小值．变式5.如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点R的横坐标为1，焦点为F，且|RF|=2，过点P(-4,0)作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为线段PA上的动点，过D作抛物线的切线，切点为E(异于点A，B)，且直线DE交线段PB于点H．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)(ⅰ)求证：|AD|+|BH|为定值；1(ⅱ)设ΔEAD，ΔEBH的面积分别为S，S，求S=3S+S的最小12132值．3变式6.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l:mx+y-=0经过抛物线C的焦2点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求ΔABP面积的最小值．题型五：外接圆问题1例13.已知P是抛物线C:y=x2-3的顶点，A、B是C上的两个动点，且PA⋅PB=-4．4(1)试判断直线AB是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；(2)设点M是ΔPAB的外接圆圆心，求点M的轨迹方程．1例14.已知点P是抛物线C:y=x2-3的顶点，A，B是C上的两个动点，且PA⋅PB=-4．4(1)判断点D(0,-1)是否在直线AB上？说明理由；(2)设点M是ΔPAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．题型六：最值问题例15.如图，已知P(-2,t)是直线x=-2上的动点，过点P作抛物线y2=4x的两条切线，切点分别为A，B，与y轴分别交于C，D．(1)求证：直线AB过定点，并求出该定点；|AB|(2)设直线AB与x轴相交于点Q，记A，B两点到直线PQ的距离分别为d1，d2；求当取最大值时d1+d2ΔPCD的面积．题型七：角度相等问题例16.如图，设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．(1)求ΔAPB的重心G的轨迹方程；(2)证明∠PFA=∠PFB．22例17.已知F，F分别是椭圆C1:17x+16y=17的上、下焦点，直线l1过点F且垂直于椭圆长轴，动直线l2垂直l1于点G，线段GF的垂直平分线交l2于点H，点H的轨迹为C2．(Ⅰ)求轨迹C2的方程；(Ⅱ)若动点P在直线l:x-y-2=0上运动，且过点P作轨迹C2的两条切线PA、PB，切点为A、B，试猜想∠PFA与∠PFB的大小关系，并证明你的结论的正确性．