高考数学专题03求双曲线的离心率（原卷版）

双曲线必会十大基本题型讲与练03求双曲线的离心率典例分析一、求离心率的值1．在直角坐标系中，设为双曲线的右焦点，为双曲线的右支上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．2．如图为陕西博物馆收藏的国宝-唐-金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则此双曲线C的离心率为（       ）A．2 B． C． D．33．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则（       ）A．B．C．D．4．已知分别为双曲线的两个焦点，曲线上的点P到原点的距离为b，且，则该双曲线的离心率为______.二、求离心率的取值范围1．（多选题）已知双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l与双曲线右支交于点P.若，且有一个内角为，则双曲线的离心率可能是（ ）A． B．2 C． D．2．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．3．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.方法点拨求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e>1.(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法，例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．(4)通过特殊位置求出离心率．2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k＞0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k＜0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).巩固练习1．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于，则此双曲线的离心率为（       ）A． B． C．2 D．42．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若，则该双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．3．已知曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于2，则C的离心率为（       ）A． B． C． D．4．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是（       ）A． B． C． D．5．已知双曲线的左､右焦点分别为，，是双曲线上一点，若，则该双曲线的离心率可以是（       ）A． B． C． D．26．（多选题）已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（       ）A． B． C． D．7．（多选题）已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率可能为（       ）A． B． C． D．8．（多选题）已知双曲线，直线与交于，两点（在的上方），，点在轴上，且轴.若的内心到轴的距离不小于，则的离心率可以为（       ）A． B． C． D．9．已知双曲线的左右焦点分别为，过点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一渐近线为点，满足，则双曲线的离心率为______.10．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的离心率等于____.11．在△ABC中，.BC=7，，点A在以B，C为焦点的椭圆上，同时点A在以B，C为焦点的双曲线上，若，的离心率分别为，，且，则角___________.12．已知是双曲线C的左右焦点，P为C上一点，，且，则C的离心率为_________．13．已知双曲线的方程为，过右焦点作双曲线在一、三象限的渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的左、右支的交点分别为．则双曲线的离心率的取值范围为________．14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点交双曲线右支于，两点，若，，则双曲线的离心率为________．15．已知双曲线，直线l与交于P、Q两点．(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；(2)若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．16．已知双曲线的左、右焦点分别是，P是双曲线右支上一点，，垂足为点H，，.（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e的取值范围.17．在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中．（1）求的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围．18．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线交双曲线于，两点.(1)若，四边形的面积为12，求双曲线的方程；(2)若，且四边形是矩形，求双曲线的离心率的取值范围.19．设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，的取值范围.20．过双曲线左焦点的动直线与的左支交于，两点，设的右焦点为.（1）若三角形可以是边长为4的正三角形，求此时的标准方程；（2）若存在直线，使得，求离心率的取值范围.