高考数学专题01求双曲线标准方程（解析版）

双曲线必会十大基本题型讲与练01求双曲线的标准方程典例分析类型一、待定系数法1．（多选题）过点且的双曲线的标准方程是（       ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】设出双曲线方程，代入点即可求出.【详解】因为，则可设双曲线方程为或，将点代入方程可得，解得，所以双曲线方程为或.故选：AC.2．已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】算出通径，然后根据三角形面积和离心率列方程组可解.【详解】设双曲线标准方程为令，则，得，所以，易知，所以…①，又…②，…③，联立①②③求解得：，所以双曲线方程为：.3．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1、P2、P3、P4四个点，F1和F2分别是C1的左右焦点，也是C2的左右焦点，并且六边形是正六边形.若椭圆C1的方程为，则双曲线方程为______.【答案】【解析】【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，然后根据为正六边形求得点的坐标，即点在双曲线上，然后解出方程即可【详解】设双曲线的方程为：，根据椭圆的方程可得：又为正六边形，则点的坐标为：，则点在双曲线上，可得：又，解得：a2=4−23b2=23。类型二、巧设方程法1．已知双曲线经过点，，则其标准方程为（       ）A． B．C． D．或【答案】A【解析】【分析】本题已知A，B两点坐标，将其代入双曲线标准方程即可得到结果【详解】设双曲线方程为则，解的所以双曲线的方程为，故选：A。2．（多选题）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（       ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】求出椭圆的焦距即双曲线的焦距，从而可设双曲线方程为，分和两种情况讨论，即可求出双曲线的标准方程．【详解】椭圆中，，焦距，双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，设双曲线的方程为，即，当时，，解得，双曲线的方程为；当时，，解得，双曲线的方程为；综上，双曲线的方程可能为或．3、焦点在坐标轴上，且经过点的双曲线标准方程为【答案】.【分析】设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.【解析】依题意，设双曲线的方程为：，于是得，解得：，所以所求双曲线的标准方程为.4、经过点，且与双曲线有相同的焦点的双曲线标准方程为。【答案】.【解析】因为所求双曲线与双曲线有相同的焦点，则设所求双曲线的方程为，而此双曲线过点，于是有，解得或（舍去），所以所求双曲线的标准方程为.类型三、定义法1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(y>0) B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y>0) D.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(x>0)【答案】B 【解析】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)．2．焦点坐标为，且经过点的双曲线标准方程为。【答案】；【分析】利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.【解析】因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，则有，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，所以所求双曲线的标准方程为.3、相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点所在的曲线的方程为．【答案】eq\f(x2,5102)－eq\f(y2,1210×190)＝1.【解析】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图略)，则A(－700,0)，B(700,0)，设M(x，y)为曲线上任一点，则||MA|－|MB||＝340×3＝1020＜1400，∴M点轨迹为双曲线，且a＝510，c＝700，∴b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)＝1210×190，∴M点轨迹方程为eq\f(x2,5102)－eq\f(y2,1210×190)＝1.方法点拨求双曲线标准方程的基本方法：（1）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值（2）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解。巩固练习1．若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意列方程组，解出，即可求解.【详解】双曲线的一条渐近线为，所以.又有，解得：，所以双曲线的方程为.2．方程－＝12的化简结果为（       ）A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0)【答案】C【解析】【分析】设A(−10,0)，B(10,0)，，求出动点的轨迹方程即得解.【详解】设A(−10,0)，B(10,0)，，由于动点P(x,y)的轨迹方程为－＝12，则|PA|−|PB|=12，故点P到定点A(−10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12，则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，由于2a=12，c=10，则，故P的轨迹的标准方程为－＝1(x＞0).所以原方程可以化简为－＝1(x＞0).3．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意列出满足的等量关系式，求解即可.【详解】因为在双曲线的一条渐近线上，故可得；因为抛物线的准线为，故，又；解得，故双曲线方程为：.4．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的焦点，即得的值，可设出双曲线的标准方程，根据离心率以及，求出的值.【详解】由椭圆方程，知半焦距为，所以双曲线的焦点在轴上，且，设双曲线方程为:，又因为，所以，又因为得：.所以双曲线的方程为：.5．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出实半轴的长、虚半轴的长，再得到双曲线的标准方程.【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，，所以设双曲线的方程为，半焦距为；又因为是双曲线上一点且，所以，即，则；所以双曲线的标准方程为.故选：C.6．如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（       ）（参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意，设双曲线的标准方程为，进而结合题意得，设，则，再待定系数，结合已知数据计算即可.【详解】根据题意，设双曲线的标准方程为，因为，，，，所以，设，则点在双曲线上，所以，，因为，，所以，，所以，解得，所以.故双曲线的方程近似为.7．（多选）已知中心在原点，且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线M的方程可能是（       ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】【分析】利用双曲线的离心率公式，以及，建立方程组求解即可．【详解】焦点到一条渐近线的距离为b，所以，因为，所以，所以该双曲线的方程为或．8．（多选题）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（       ）A． B．C． D．【答案】AB【解析】【分析】由四边形的面积为，可得，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形的面积可求出，进而得到关于a，b的两个方程，联立求解即可得答案．【详解】因为四边形的面积为，所以，整理得，记四边形内切圆半径为r，则，得．又，所以，又，联立可得，或，所以双曲线的方程为或．9．（多选题）已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（       ）A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的离心率为 D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】由题意知双曲线的焦点在轴上，设双曲线，根据焦点到渐近线的距离为，可求得，即可求得双曲线方程，再根据双曲线的性质逐一分析各选项即可的解.【详解】由题意知双曲线的焦点在轴上，设双曲线，双曲线的渐近线方程为，取，即焦点到渐近线的距离为．所以，所以，所以双曲线的方程为，故选项A正确；双曲线的渐近线方程为故选项B错误；离心率，故选项C正确；双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故选项D正确.10．若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是___________.【答案】【解析】【分析】分双曲线焦点在轴或上，分别设出双曲线方程，联立方程组求解即可.【详解】①若双曲线的焦点在x轴上,则可设，则且，联立解得,则双曲线的标准方程为；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设，则，且，此时无解，综上，双曲线的方程为.11．写出中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P(1，-4)的等轴双曲线的标准方程：____________.【答案】【解析】【分析】由等轴双曲线知，分焦点位置讨论，再代入点P(1，-4)即可.【详解】当焦点在轴上时，设双曲线方程为：，则，无解；当焦点在轴上时，设双曲线方程为：，则，解得；故双曲线方程为：.12．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程是______．【答案】【解析】【分析】由题意双曲线的一条渐近线与直线平行，可知a,b之间的关系，再根据双曲线的一个焦点在直线l上可得到c,进而求得双曲线方程.【详解】由题意可知：，直线与x轴的交点坐标为，由双曲线的一个焦点在直线l上可知，即为双曲线的一个焦点，故，则，解得，故双曲线方程为：，13．经过两点的双曲线的标准方程是________．【答案】【解析】【分析】设双曲线的标准方程将点坐标代入求参数，即可确定标准方程.【详解】令，则，可得，令，则，无解.故双曲线的标准方程是.14．已知双曲线的一个焦点坐标为，且该焦点到双曲线渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为________．【答案】【解析】【分析】先根据焦点求出c，再根据焦点到渐近线的距离等于1求出b，从而得到双曲线的方程.【详解】因为双曲线：（，）的右焦点为，所以，又因为点到双曲线的一条渐近线的距离为1，所以，从而，所以双曲线的标准方程为，15．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦距为6，顶点为，；(2)顶点为，，虚轴长为2；(3)实轴长和虚轴长相等，且经过点．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）设双曲线方程，由题意可求得，继而求得，可得答案；（2）设双曲线方程，由题意可求得，可得答案；（3）设双曲线方程，由题意可求得，将点的坐标代入方程中，求得，可得答案；【解析】(1)设双曲线的标准方程为，则，故，所以双曲线的标准方程为；(2)设双曲线的标准方程为，则，故，所以双曲线的标准方程为；(3)若设双曲线的标