高考数学专题03求双曲线的离心率（解析版）

双曲线必会十大基本题型讲与练03求双曲线的离心率典例分析一、求离心率的值1．在直角坐标系中，设为双曲线的右焦点，为双曲线的右支上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据为正三角形求出的坐标，代入双曲线方程，根据离心率公式化为关于的方程，可求出结果，【详解】不妨设在第一象限，因为为正三角形，，所以，又在双曲线上，所以，所以，所以，所以，所以，化简得，解得，所以.2．如图为陕西博物馆收藏的国宝-唐-金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则此双曲线C的离心率为（       ）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】根据题意可知点，点，将其代入双曲线方程，即可求出，的值，再根据，即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意上口外直径为，下底外直径为，由题意可知点，点，将点，点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，，所以双曲线C的离心率为.3．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则（       ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】由三角形的面积公式可得，由椭圆的离心率公式可得，设双曲线的方程为，设在第一象限，且，，运用椭圆和双曲线的定义，可得，，（用，表示），再在△中，运用余弦定理，求得，进而得到，检验即可得到结论．【详解】由题意，所以，可得△的面积为，所以，即有，则，设双曲线的方程为，设在第一象限，如图：令，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，，在△中，，则，可得，则，即有，由，可得，则，，，选项正确；错误．4．已知分别为双曲线的两个焦点，曲线上的点P到原点的距离为b，且，则该双曲线的离心率为______.【答案】【分析】由等面积法结合定义得出，由结合余弦定理得出该双曲线的离心率.【详解】设焦距为，因为，，所以，又，所以，因为，，所以，结合整理得，即二、求离心率的取值范围1．（多选题）已知双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l与双曲线右支交于点P.若，且有一个内角为，则双曲线的离心率可能是（ ）A． B．2 C． D．【答案】AD【分析】当时，由，，求得，，，利用余弦定理可得答案；当时，，，求出，，，由余弦定理可得答案.【详解】当时，，，所以，，，所以，即，化简得，所以，当时，，，所以，，，所以，即，化简得，解得。2．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】求得，利用基本不等式可求得的取值范围，结合离心率公式可求得结果.【详解】设点，其中，易知点、，且有，则，，当点在第一象限时，，，则，，且，由基本不等式可得，因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即，.3．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，联立可得，，由余弦定理可得：，即，解得，因为，所以，，可得，故。方法点拨求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e>1.(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法，例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．(4)通过特殊位置求出离心率．2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k＞0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k＜0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).巩固练习1．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于，则此双曲线的离心率为（       ）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】由题列出关于的关系式求解即可.【详解】由题可知渐近线方程，即，故焦点到渐近线的距离，∴.，即，解得.故选：C.2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若，则该双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据所给的条件，分析双曲线内部的几何关系，即可求解.【详解】易知，，将代入双曲线的方程，可得，则．又因为，是等腰直角三角形，所以，即，整理得，解得。3．已知曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于2，则C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设出点P的坐标，由给定条件列式求出，再利用离心率计算公式求解作答.【详解】依题意，，设点，则，有，由直线与的斜率之积等于2得：，所以C的离心率.4．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得，由和关系可求得，，由此可求得离心率.【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：；，为双曲线的通径，即；由得：，，由得：，即，，离心率.5．已知双曲线的左､右焦点分别为，，是双曲线上一点，若，则该双曲线的离心率可以是（       ）A． B． C． D．2【答案】AB【解析】【分析】依据双曲线定义及几何性质构造不等式，求得双曲线的离心率的取值范围即可解决.【详解】是双曲线右支上一点，则有，又，则有，即，则双曲线的离心率取值范围为，选项AB正确；选项CD错误.6．（多选题）已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（       ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】由题可得，即可得出，进而表示出离心率即可得出答案.【详解】因为的焦点重合，所以，即，所以，故A正确；则，故C正确.7．（多选题）已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率可能为（       ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离，则由题意可得，从而可求出离心率的范围【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，则直线与直线的距离为，因为点是直线上任意一点，且圆与双曲线的右支没有公共点，所以，即，得离心率，因为所以双曲线的离心率的取值范围为。8．（多选题）已知双曲线，直线与交于，两点（在的上方），，点在轴上，且轴.若的内心到轴的距离不小于，则的离心率可以为（       ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据三角形内心的的性质得到，从而得到，，进而求出离心率的取值范围.【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以，，则.因为，所以A是线段的中点，又轴，所以，，所以的内心G在线段上.因为DG平分∠EDA，在△EDG中，由正弦定理得：，在△ADG中，由正弦定理得：，由于，，所以，因为G到y轴的距离不小于，所以，所以，因此，即，，故.9．已知双曲线的左右焦点分别为，过点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一渐近线为点，满足，则双曲线的离心率为______.【答案】2【分析】直接由得到，再利用等腰三角形三线合一得到，求出，即可求出离心率.【详解】如图，，，则，又，，，即，故.10．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的离心率等于___________.【答案】##【详解】求出圆心和半径，由于渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的关系，从而可求出离心率【解析】双曲线的渐近线方程为，即，圆的圆心为，半径为2，因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，所以，即，所以，，所以，则，所以离心率。11．在△ABC中，.BC=7，，点A在以B，C为焦点的椭圆上，同时点A在以B，C为焦点的双曲线上，若，的离心率分别为，，且，则角___________.【答案】60°【分析】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，根据椭圆和双曲线的定义及离心率公式可得，，，从而求得或.在利用余弦定理可不就得答案.【详解】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则，，且.因为点A在以B，C为焦点的椭圆上，所以.又因为点A在以B，C为焦点的双曲线上，所以.因为，所以.所以或.所以.因为，所以.12．已知是双曲线C的左右焦点，P为C上一点，，且，则C的离心率为_________．【答案】【解析】【分析】由双曲线定义及已知条件可得，再应用余弦定理构造a、c的齐次方程即可求离心率.【详解】由题设，，又，则，而，所以，则，所以，故.13．已知双曲线的方程为，过右焦点作双曲线在一、三象限的渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的左、右支的交点分别为．则双曲线的离心率的取值范围为________．【答案】【分析】先写出过右焦点且与渐近线垂直的直线方程，再联立直线与双曲线方程，根据分别在两支上，两点横坐标异号即可求解.【详解】双曲线在第一、三象限的渐近线为，则过点与垂直的直线方程为：，即．联立,得：，设，，，．∵分别在双曲线左右两支上，，即，即，，故．14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点交双曲线右支于，两点，若，，则双曲线的离心率为________．【答案】【解析】【分析】设，由，，得到，，结合双曲线的定义，得到，，然后分别在和中，利用余弦定理得到，然后由求解.【详解】设，则，，由双曲线的定义，得，，．在中，，在中，，，即，，．15．已知双曲线，直线l与交于P、Q两点．(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；(2)若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根据题意可得，又因为且，解得，可得双曲线方程，进而可得的渐近线方程．（2）设直线的方程为：，，，联立直线与双曲线方程，可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，再由两点之间距离公式得，解得，进而由可求出，即可求得离心率.【解析】(1)∵点是双曲线的一个焦点，∴，又∵且，解得，∴双曲线方程为，∴的渐近线方程为：；(2)设直线的方程为，且，，联立，可得，则，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故双曲线的离心率或.16．已知双曲线的左、右焦点分别是，P是双曲线右支上一点，，垂足为点H，，.（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知条件，结合三角形相似，求得，代入，求得，进而得到双曲线的渐近线方程；（2）写出关于的函数关系式，利用函数的单调性求得的范围，即可求解.【详解】（1）如图所示，当时，代入双曲线，可得由与相似，可得，因为，所以，整理得，可得，所以，当时，可得，所以，所以双曲线渐近线方程为.（2）由（1）可得，则，又由函数在上单调递增函数，所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，即，所以.17．在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中．（1）求的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围．【答案】（1）；（2），.【解析】（1）根据两曲线的方程分别计算和，即可求出的值；（2）根据双曲线渐近线的