高考数学专题09 双曲线与平面向量的交汇问题（原卷版）

双曲线必会十大基本题型讲与练09双曲线与平面向量的交汇问题典例分析类型一：以平面向量数量积为条件情境1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在双曲线上且，若的内切圆的半径为（       ）A． B．C． D．2．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为（       ）A． B． C． D．3．以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2.已知点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足＝，则（       ）A．2 B．4C．1 D．－1类型二：以平面向量数量积为问题情境1．、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（       ）A． B． C． D．2．已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（       ）A． B． C． D．3．已知点，若为双曲线的右焦点，是该双曲线上且在第一象限的动点，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．4．（多选题）已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（       ）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，过方程所确定的曲线C上点的直线与曲线C相切，则此切线的方程.（1）若，直线过点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程；（3）若，，过坐标原点斜率的直线交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求的值.类型三：以平面向量共线向量为条件情境1．已知直线与双曲线（）交于、两点，与轴交于点，若，则的值为A． B． C． D．22．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（       ）A．3 B．2 C． D．3．（多选题）已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（       ）A． B．－ C． D．－类型四：以平面向量共线向量、数量积为条件情境的综合性问题1．已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，直线过点且与的右支交于，两点，若，，则直线的斜率为（       ）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别是和，双曲线的右支上有A、B在第一象限两点，满足，并且，则直线的斜率是（       ）A． B． C．2 D．43．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，，则（       ）A． B． C．1 D．4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．5．（多选题）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（       ）A．直线与轴垂直 B．的离心率为C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）6．已知是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点满足，若.则以为圆心，为半径的圆的面积为________.类型五：共线向量、数量积与线探索性问题交汇1．设定点，常数，动点，设，，且．（1）求动点的轨迹方程；（2）设直线：与点的轨迹交于，两点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．2．已知双曲线的离心率为，点在上．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．类型六：共线向量与定值交汇问题1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．(1)求C的方程；(2)过点的直线与C交于两点A，B，与直线交于点N．设，，求证：为定值．方法点拨1、平面向量作为解题工具在解析几何中有广泛的应用，通过向量形式给出题目条件，体现向量在圆锥曲线中的渗透，也是高考设置综合题的一个特色，如2020年全国卷ⅠT20，利用向量求椭圆方程，2019年全国卷ⅠT19(2)，利用向量相等求弦长|AB|的值，2018年全国卷ⅢT20(2)，题中给出条件eq\o(FP,\s\up7(―→))＋eq\o(FA,\s\up7(―→))＋eq\o(FB,\s\up7(―→))＝0，证明|eq\o(FA,\s\up7(―→))|，|eq\o(FP,\s\up7(―→))|，|eq\o(FB,\s\up7(―→))|成等差数列等．解答此类问题除对知识熟练外，还要具备很强的知识间的交汇和迁移变通能力．2、遇到向量数量积问题，想到向量的坐标表示，向量相等的条件，向量数量积的坐标运算公式．如：点B在以线段F1F2为直径的圆上；(2)eq\o(F1B,\s\up7(―→))·eq\o(F2B,\s\up7(―→))＝0；(3)kF1B·kF2B＝－1；(4)勾股定理．以上关系可相互转化．巩固练习1．已知双曲线：的右焦点为，是虚轴的一个端点，线段与的右支交于点，若，则的渐近线的斜率为（       ）A． B． C． D．2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为，则（       ）A．8 B． C．4 D．3．经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（       ）A． B．1 C．2 D．4．已知双曲线的焦点为，，其渐近线上横坐标为的点满足，则（       ）A． B． C．2 D．45．过双曲线（，）的右焦点作双曲线渐近线的垂线段，垂足为，线段与双曲线交于点，且满足，则双曲线离心率等于（       ）A． B． C． D．6．已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．7．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（       ）A． B． C． D．8．过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，垂线交轴于点，且.若的面积为（是坐标原点），则双曲线的标准方程为A． B．C． D．9．设双的线（，）的右焦点是F，左､右顶点分别是，，过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为（       ）A． B． C． D．10．已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（       ）A． B． C． D．11．已知双曲线，右焦点为，点是直线在第一象限上的动点，直线与双曲线的一条渐近线在第一象限上的交点为，若，则__________．12．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，，则______.13．设双曲线的左焦点为，右顶点为.若在双曲线上，有且只有个不同的点使得成立，则实数的取值范围是___________.14．在直角坐标系中，双曲线（）的离心率，其渐近线与圆交轴上方于两点，有下列三个结论：①；②存在最大值；③．则正确结论的序号为_______.15．双曲线的左､右焦点分别为、，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限），则双曲线C的离心率为______．16．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程．17．已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点的坐标为，过的直线与双曲线交于不同两点、.(1)求双曲线的方程；(2)求的取值范围（为坐标原点）.18．已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C的方程；(2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；(3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.19．点是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求的值；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足，求的值．20．已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.(1)求C的方程；(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.21．设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4.（1）求双曲线的方程；（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求.22．已知△OFQ的面积为2，＝m（1）设≤m≤4，求∠OFQ正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），||＝c，m＝（﹣1）c2，当||取得最小值时，求此双曲线的方程.