高考数学专题07以双曲线为情境的定点问题（原卷版）

双曲线必会十大基本题型讲与练07以双曲线为情境的定点问题典例分析类型一：求线过定点1．双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为___________．2．已知双曲线C：－y2＝1，直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为________．类型二：探索线过定点1．已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.(1)求的方程；(2)是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.2．已知双曲线C：0)经过点P(－2，1)，且C的右顶点到一条渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点P分别作两条直线与C交于A，B两点(A，B两点均不与点P重合)，设直线的斜率分别为．若，试问直线AB是否经过定点?若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．类型三：证明线过定点1．已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上.(1)求的方程；(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点.2．在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.类型四：证明圆过定点1．已知双曲线过点，且C的渐近线方程为．(1)求C的方程．(2)A，B为C的实轴端点，Q为C上异于A，B的任意一点，与y轴分别交于M，N两点，证明：以为直径的圆过两个定点．2．已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．方法点拨1、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.2．圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中的系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．3．直线过定点问题的解题模型巩固练习1．已知为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，若在轴的负半轴上存在定点，使得，则（       ）A． B． C． D．2．双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（       ）A． B． C． D．3．已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．(1)求C的方程；(2)设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．4．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.5．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．6．已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，．(1)求双曲线C的方程；(2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点．7．已知为椭圆的右焦点且为双曲线的右顶点，椭圆与双曲线的一个交点是．若点是双曲线右支上的动点，直线交轴于点，试问以线段为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论．8．已知双曲线的左顶点为，右焦点为F，点B在C上．当时．不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于P，Q两点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线PQ过点F，在x轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，求出点的N的坐标；若不存在，说明理由．9．在平面直角坐标系中，已知双曲线（、为正数）的右顶点为，右焦点到渐近线的距离为，直线与双曲线交于、两点，且、均不是双曲线的顶点，为的中点．(1)求双曲线的方程；(2)当直线与直线的斜率均存在时，设斜率分别为、，求的值；(3)若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，说明理由．10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．11．已知双曲线的离心率为2，且过点．(1)求C的方程：(2)若点M，N在C上，且，B为垂足．是否存在定点Q，使得为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．12．已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.(1)求C的方程；(2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.13．已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点、在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线：与双曲线相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．14．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；(2)若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．15．双曲线C：（，）的一条渐近线l的倾斜角为，过左、右焦点，分别作l的垂线，两垂足间的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点P（1，0）且斜率不为0的直线与双曲线C交于M，N两点，记N关于x轴的对称点为Q，证明直线MQ过x轴上的定点．16．已知动圆过点，并且与圆外切，设动圆的圆心的轨迹为．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于，两点，设直线，点，直线交于点，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.17．已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与C的一条渐近线交于点P，且．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设Q为双曲线C右支上的一个动点在x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在请说明理由．18．设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．(1)求双曲线的离心率；(2)已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．