高考数学专题04 以双曲线为情境的最值或范围问题（原卷版）

双曲线必会十大基本题型讲与练04以双曲线为情境的最值或范围问题典例分析类型一：数形结合解决与双曲线交汇的最值问题1．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（       ）A． B． C． D．2．已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（       ）A． B． C． D．3．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（     ）.A．4 B．5 C．6 D．3类型二：双曲线与基本不等式交汇的最值或范围问题1．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(       )A． B． C． D．2．设为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（       ）A．4 B．8 C．16 D．323．已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（       ）A． B． C． D．4．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（  ）A．20 B．22 C．24 D．25类型三：利用不等式思想解决与双曲线有关最值或范围问题1．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．2．已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________．3．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.4．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.(1)求双曲线的标准方程；(2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.类型四：利用函数思想解决与双曲线有关最值或范围问题1．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C2．已知实数满足，则的取值范围是____________3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________．4．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.(1)若的面积为，求直线AB的方程；(2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围.方法点拨求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解．(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解．(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解．巩固练习1．已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则两点间的最短距离为（       ）A．B．C．D．2．已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．3．已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（       ）A． B． C． D．4．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（       ）A．48 B．49 C．50 D．424．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（       ）A． B． C． D．5．设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．6．已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．7．（多选题）若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（       ）A．的焦点到渐近线的距离为4 B．的离心率为C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为8．（多选题）在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ）A．直线是双曲线的一条渐近线B．点与直线的距离的最小值为1C．线段的最短长度为1D．线段的最短长度为69．（多选题）已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（       ）A．双曲线的方程为B．双曲线的离心率为C．函数(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2=10．（多选题）已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（       ）A．若，的斜率分别为，，则 B．C．的最小值为 D．的最小值为11．（多选题）双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，点是双曲线上的动点，则的值可能为A．4 B． C．2 D．12．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为___________.13．已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________.14．已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________15．已知是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是___________.16．已知双曲线的离心率为2，且双曲线C与椭圆有相同的焦点．点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则的最小值为________17．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是______.18．已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点.①求证：点与点的横坐标的积为定值；②求△周长的最小值.19．已知双曲线C：的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程；(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．20．已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．(1)求双曲线的方程；(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．21．已知双曲线C：的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为．(1)求双曲线C的方程；(2)直线（）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围．22．在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；(2)曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.23．设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值.24．已知双曲线：（，）交轴于两点，是双曲线上异于的任意一点，直线分别交轴于点，，且双曲线离心率为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线l：（）与双曲线交于两点，为双曲线虚轴在轴正半轴的端点，若，求实数的取值范围.25．已知双曲线的离心率为，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围.