高考数学专题08以双曲线为情境的几何证明（原卷版）

双曲线必会十大基本题型讲与练08以双曲线为情境的几何证明典例分析类型一：有关直线位置关系的证明1．在平面直角坐标系中，已知双曲线．（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求M点的坐标；（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：．2．已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A（点A在第一象限），B两点，且.(1)求C的标准方程.(2)已知l为C的准线，过F的直线交C于M，N（M，N异于A，B）两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点.类型二：有关线段长度的证明1．已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，双曲线C与抛物线E交于A，B两点，且（O为坐标原点）．(1)求双曲线C的离心率．(2)过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P，证明：．2．已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，且双曲线的右焦点到直线的距离为1．（1）求双曲线的标准方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，点，且直线与直线交于点，求证：．类型三：有关角度的证明1．已知曲线上任意一点满足方程.(1)求曲线的方程；(2)已知定点，过点的直线与曲线交于两点.证明：.2．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|＝．（1）求E的方程；（2）过F的直线交E的右支于A，B两点，求证：PF平分∠APB．类型四：有关三点共线的证明1．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．类型五：有关定值的证明1．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，抛物线在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2.(1)求抛物线的方程.(2)若斜率不为0的直线过焦点，且交抛物线于，两点，线段的中垂线与轴交于点.证明：为定值.类型六：有关定点的证明1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．(1)经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；(2)设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点．类型七：有关数列的证明1．已知双曲线C：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.（Ⅰ）求a,b；（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.方法点拨圆锥曲线中的证明问题是高考的热点内容之一，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.1．几何证明问题的解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．2、证明三点共线问题的方法圆锥曲线中的三点共线问题，其实就是对应直线(斜率存在)上的三点中相关两个点对应的斜率相等问题，即若要证明A，B，C三点共线，即证明kAB＝kAC(或kAB＝kBC或kAC＝kBC)．3、几何关系“直角”坐标化的转化方式(1)点B在以线段F1F2为直径的圆上；(2)eq\o(F1B,\s\up7(―→))·eq\o(F2B,\s\up7(―→))＝0；(3)kF1B·kF2B＝－1；(4)勾股定理．以上关系可相互转化．巩固练习1．已知双曲线的离心率为，点在上．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．2．已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和.（1）当运动到时，求的值；（2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点.3．已知点，点，点M与y轴的距离记为d，且点M满足：，记点M的轨迹为曲线W．(1)求曲线W的方程；(2)设点P为x轴上除原点O外的一点，过点P作直线，，交曲线W于点C，D，交曲线W于点E，F，G，H分别为CD，EF的中点，过点P作x轴的垂线交GH于点N，设CD，EF，ON的斜率分别为，，的，求证：为定值．4．已知椭圆，下顶点为A，不与坐标轴垂直的直线l与C交于P，Q两点．(1)若线段的中点为，求直线l的斜率；(2)若l与y轴交于点，直线分别交x轴于点M，N，求证：M，N的横坐标乘积为定值．5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线上不同两点，满足．(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线与抛物线相切于点与椭圆相交于两点，与直线交于点，以为直径的圆与直线交于两点．求证，直线经过线段的中点．6．已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，．(1)求双曲线C的方程；(2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点．7．已知圆的圆心为M，圆的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知定点，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：．8．如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.(1)证明：直线的方程为.(2)设为双曲线的左焦点，证明：.9．在平面直角坐标系中，已知的两个顶点坐标为，直线的斜率乘积为.(1)求顶点的轨迹的方程；(2)过点的直线与曲线交于点，直线相交于点，求证：为定值.10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．11．已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B．(1)求双曲线C的方程；(2)过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值．12．已知双曲线的左右顶点分别为，，且点到的渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)异于，的两点，在上，若直线在轴上的截距是直线在轴上截距的2倍，证明：直线过定点，并求出定点坐标.13．已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为2，O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为．(1)求双曲线C的标准方程．(2)平面上有一点，证明：的角平分线与双曲线C相切．14．已知，分别为双曲线（，）的左､右焦点，点是双曲线上一点.若第一象限的点，是双曲线上不同的两点，且.(1)求的离心率；(2)设，分别是的左､右顶点，证明：.15．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点，过右焦点且与坐标轴都不垂直的直线与交于，两点，求证：．16．已知双曲线.(1)过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率；(2)若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点.17．已知为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且．（1）求双曲线的方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线，交双曲线于两个不同的点，的中点为，证明：．18．在平面直角坐标系中，过方程所确定的曲线C上点的直线与曲线C相切，则此切线的方程.（1）若，直线过点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程；（2）若，，点A是曲线C上的任意一点，曲线过点A的切线交直线于M，交直线于N，证明：；19．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.20．已知双曲线，经过点的直线与该双曲线交于两点.（1）若与轴垂直，且，求的值；（2）若，且的横坐标之和为，证明：.（3）设直线与轴交于点，求证：为定值.21．已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.22．已知双曲线的左右焦点分别为，.（1）若双曲线右支上一点使得的面积为，求点的坐标；（2）已知为坐标原点，圆：与双曲线右支交于，两点，点为双曲线上异于，的一动点，若直线，与轴分别交于点，，求证：为常数.