2023年高考数学必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷05（解析版）

绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分2023年高考必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷05本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是，全年进球数的方差为；乙队平均每场进球数是，全年进球数的标准差为。下列说法错误的是（）。A、甲队的技术比乙队好B、乙队发挥比甲队稳定C、乙队的表现时好时坏D、乙队几乎每场都进球【答案】B【解析】A选项，∵甲队的平均进球数比乙队多，∴甲队技术较好，对，B选项，、，乙队的标准差比甲队大，标准差越大越不稳定，错，C选项，乙队与甲队相比，不稳定，乙队的表现时好时坏，对，D选项，乙队平均每场进球数为，∴乙队几乎每场都进球，对，故选B。2．函数在其定义域上的图像大致为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴是奇函数，排除AB选项，当时，，故选D。3．已知平面向量、，若与为单位正交基底，则与夹角的余弦值为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵与为单位正交基底，∴设、，则、，∴，故选C。4．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答。若这些志愿者的某免疫反应蛋白的数值（单位：）近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于的人数大约为（）。A、B、C、D、【答案】B【解答】∵，又，∴，∴这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于的人数大约为，故选B。5．设双曲线：（，）的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与双曲线相交所得的弦长为，则双曲线的离心率为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可知点，，∴，∴弦长为，解得，∴，故选B。6．甲烷是一种有机化合物，分子式是，它作为燃料广泛应用于民用和工业中。近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加。深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题。甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等。请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间夹角的余弦值（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】设正四面体的棱长为，正四面体的中心为，底面三角形的高为，正四面体的高为：，，解得，设甲烷碳氢键之间夹角为，，故选B。7．已知是上的奇函数，（），则数列的通项公式为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】在上为奇函数故，代入得：（），当时，，令，则，上式即为：，当为偶数时：，当为奇数时：，综上所述，，故选C。8．函数（）在内有且仅有一个极大值点，则的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，∴函数在内有且仅有一个极大值点等价于：函数在内有且仅有一个极大值点，则，解得，故选A。二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．已知全集，集合，，则下列结论中正确的是（）。A、B、C、D、的真子集个数是【答案】ACD【解析】、，A选项，，对，B选项，，错，C选项，，，对，D选项，中有个元素，故其子集个数为，其中真子集个数为，对，故选ACD。10．在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）。A、、、依次成等差数列B、、、依次成等差数列C、、、依次成等差数列D、、、依次成等差数列【答案】ABD【解析】在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、依次成等差数列，则：，利用，整理得：，利用正弦和余弦定理得：，整理得：，即：、、依次成等差数列，此时对等差数列、、的每一项取相同的运算得到：数列、、或、、或、、，这些数列一般都不可能是等差数列，除非，但题目没有说是等边三角形，故选ABD。11．已知，，，若存在唯一零点，下列说法正确有（）。A、在上递增B、的图像关于点中心对称C、任取两个不相等实数，均有D、【答案】ABD【解析】，可知在上恒大于零，即在上递增，A对，设、，，，，，，∴图像关于点中心对称，B对，选取选项B中的、两点，则，，，C错，当时，，∵时，，，∴，，∵，则，∴，，∵，故，D对，故选ABD。12．在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，准线为，过点且斜率大于的直线交抛物线于、两点（其中在的上方），过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线、、于点、、，则（）。A、B、若、是线段的三等分点，则直线的斜率为C、若、不是线段的三等分点，则一定有D、若、不是线段的三等分点，则一定有【答案】AB【解析】抛物线的焦点为，设直线方程为，，、，由得，、，∴，，直线方程为，∵、、三点共线，∴，∴，同理，∴，，∴，即，A选项对，若、是线段的三等分点，则，，∴，又，，∴，∴，解得，B选项对，由得、，∴，，又，∴，，∴，当时，，C错，由图像可知，而，只要，就有，D错，故选AB。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．已知，则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为。【答案】【解析】设对应的点，则，设点、，则，∴点在以、为焦点的椭圆上，其轨迹方程为。14．的展开式中，含项的系数为。【答案】【解析】，∵的通项公式，的通项公式，∴的通项公式为，∴令，可取、，此时系数为，、，此时系数为，、，此时系数为，∴的展开式中，含项的系数为。15．赵先生准备通过某银行贷款元，后通过分期付款的方式还款。银行与赵先生约定：每个月还款一次，分次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，则赵先生每个月所要还款的钱数为。（精确到元，参考数据）【答案】元【解析】设每一期所还款数为元，则每期所还款本金为、、、…、，∴，则，∴赵先生每个月所要还款约元。16．在圆锥内放置半径为的小球和半径为的大球与圆锥的侧面均相切，大球与小球以及大球与圆锥底面均相切，则圆锥侧面积为。【答案】【解析】∵圆锥和球体都是旋转体，根据球体之间以及球体和锥体之间的位置关系可判断为组合体的旋转轴，且和所有切点均共面，过轴线和切点确定的平画截得的截面如图所示为，设大、小圆的圆心分别为、，作、，垂足分别为、，∴，由，∴，故，由得到，在中，由，可得，则，则圆锥的母线长，底面圆半径，则由圆锥面积公式可得。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知的内角、、的对边分别是、、，且。（1）求；（2）若，，求的面积。【解析】（1）在中，，由题意及正弦定理得：，1分∴，∴，∴，3分又∵，∴，又∵，∴；5分（2）∵、，∴由余弦定理得：，6分即，化简得，解得（可取）或（舍去），8分∴。10分18．（本小题满分12分）某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为分，得分大于等于分的为优秀。竞赛结束后，随机抽取了参赛中人的得分为样本，统计得到样本平均数为，方差为。假设该市有万人参加了该竞赛活动，得分服从正态分布。（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次。抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数，若产生的两位数的数字相同，则可奖励元电话费，否则奖励元电话费。假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若，则，。【解析】（1）∵得分，∴标准差，∴优秀者得分，∵得，∴，2分∴估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为（万人）；3分（2）设每位参加活动者获得的电话费为元，则的值为、、、、，4分则，，，，，9分∴，11分∴估计这次活动所需电话费为（万元）。12分19．（本小题满分12分）已知为等差数列，为等比数列，的前项和为，且，，。（1）求数列、的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求数列的前项和。【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），∵，，∴，解得：或（舍去），∴，；3分（2）∵是等差数列，∴，又由（1）知：，∴，5分∴，∴，6分则①，②，8分②-①得，，11分∴。12分20．（本小题满分12分）如图所示，已知三棱锥中，为等边三角形，且，平面平面，其中为中点，为中点，为上靠近的三等分点，设平面与平面的交线为。（1）证明：直线平面；（2）若为中点，求直线与平面所成角的余弦值。【解析】（1）证明：设上靠近的三等分点为，连、，∵为上靠近的三等分点，∴，又∵为中点，为中点，∴，∴，∴、、、共面，∴平面，又∵平面，∴为平面与平面的交线，3分∴即为直线，又∵平面，平面，∴直线平面；4分（2）连接，∵，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又为等边三角形，∴，5分∴以为原点如图建系，设，∵，∴，∴、、、、，设，则，∴，解得，，，∴，∴、、，7分设平面的法向量为，则，即，∴，设，则，∴，10分设直线与平面所成角的平面角为锐角，则，∴，∴直线与平面所成角的余弦值为。12分21．（本小题满分12分）已知椭圆：（）与抛物线：有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为。（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为（）的直线交椭圆于、两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由。【解析】（1）∵椭圆与抛物线有相同的焦点，又∴①，∵抛物线的准线被椭圆截得的弦长为，∴②，解①②得，，∴椭圆的标准方程为：；4分（2）设直线：，、，联立直线与椭圆方程，消去得：，恒成立，则，，6分∴，∴，∴的坐标为，直线：③，8分直线方程中令得，∴的坐标为，∵直线，∴的直线方程为④，9分将③④联立相乘得到，即，∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，11分∴存在定点，使得的长为定值。12分22．（本小题满分12分）已知函数。（1）若，求函数的极值；（2）若函数无零点，求实数的取值范围。【解析】（1）当时，，定义域为，，令，解得，1分当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，∴在处取得极小值为，无极大值；3分（2），定义域为，，4分①当时，，此时无零点，符合要求，5分②当时，，∴在上单调递减，又且，∴有唯一一个零点，不符合要求，7分③当时，令，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，9分∴在处取得极小值也是最小值，，若函数没有零点，则需，即，解得，11分综上所述，若函数无零点，则实数的取值范围为。12分