2023年高考数学必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷04（解析版）

2023年高考必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，若，则实数（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，又，∴，又，∴、是方程的两个根，∴，故选B。2．设复数满足，则复数（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】，∴，故选A。3．如图所示的函数图像，对应的函数解析式可能是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】A选项，，当时，，不符合，B选项，为偶函数，其图像关于轴对称，不符合，C选项，的定义域为，不符合，故选D。4．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。已知函数的拐点是，则点（）。A、在直线上B、在直线上C、在直线上D、在直线上【答案】C【解析】，，，∴，故在直线上，故选C。5．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有把钥匙依次分给名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】当时，打开柜门需要的次数为，故选C，已知每一位学生打开柜门的概率为，所打开柜门次数的平均数（即数学期望）为，故选C。6．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驽马多行（）。A、里B、里C、里D、里【答案】C【解析】由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为，其中、，驽马每日行的距离成等差数列，记为，其中、，总路程里，则解得（可取）或（舍），良马比驽马多行了，故选C。7．已知在等腰中，、是两腰上的中线，且，则顶角的余弦值为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】如图建立平面直角坐标系，设、、，、、，∵、是两腰上的中线，∴，同理得，又∵，∴，即，化简为，∴，故选D。8．如图所示，半径为的半圆有一内接梯形，它的下底为圆的直径，上底的端点在圆周上，若双曲线以、为焦点，且过、两点，则当梯形周长最大时，双曲线的实轴长为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】，设，作于点，则，，∴，则梯形周长，当，即时周长有最大值，这时，，，∴双曲线的实轴长为，故选B。二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．下列说法正确的是（）。A、命题“若，则”的否定为真命题B、命题：存在，使得，则：任意，都有C、是一条直线，、是两个不同的平面，若、，则D、“”是“”的充分不必要条件【答案】BCD【解析】A选项，命题“若，则”为真命题，∴其命题的否定为假命题，错，B选项，命题：存在，使得，则：任意，都有，对，C选项，∵垂直于同一条直线的两个平面平行，∴由、可得，对，D选项，或，故“”是“”的充分不必要条件，对，故选BCD。10．在等比数列中，（），公比，且，又与的等比中项为，，数列的前项和为，则当最大时，的值等于（）。A、B、C、D、【答案】AB【解析】∵，∴，即，又，∴，又，∴，又，则，，∴，则，，，数列的前项和为，则，则当时，当时，当时，∴最大时的值为或，故选B。11．下列关于函数的论述正确的是（）。A、函数的最小值为B、函数在上单调递增C、函数在上有个零点D、曲线关于直线对称【答案】CD【解析】A选项，，错，B选项，当时，，在上不是单调函数，错，C选项，当时，，函数无零点，当，即时，又是偶函数，当时，，只有，∴在时，函数有三个零点，对，D选项，，∴曲线关于直线对称，对，故选CD。12．已知函数，是的导函数，则下列命题正确的是（）。A、在区间是增函数B、当时，函数的最大值为C、有个零点D、【答案】AC【解析】当时，，，∴在区间是增函数，A选项正确，当时，，当且仅当时取到最小值，B选项错误，当时，，令，则，由于，，∴在上先减后增，且，∴在内只有一个零点，当时，，令，则，由于，，∴在上先增后减，且，∴在内只有一个零点，综上可知，有个零点，C选项正确，当时，，，D选项错误，故选AC。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线经过抛物线的焦点，则。【答案】【解析】由题意得，抛物线方程可化为，易知抛物线的焦点在轴上，又直线经过该抛物线的焦点，且直线过点，∴抛物线的焦点坐标为，∴，解得。14．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为。若，则。【答案】【解析】展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，又，解得。15．已知函数，则的最小值是。【答案】【解析】，∴当时函数单调递减，当时函数单调递增，则函数的递减区间为，，递增区间为，，∴当，时，函数取得最小值，此时，，∴。16．已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，且折后所得四面体外接球表面积为，则二面角的余弦值为。【答案】【解析】由已知得，和均为正三角形，如图，设为的中点，延长，作交于点，∴是二面角的平面角，作的中点，则在上，且，作，作，，可知四面体外接球的球心在上，设外接球半径为，则，在和中，∵，，∴、、，解得、，从而，∴二面角的余弦值为。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知数列满足：（），数列为等差数列，、、。（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大值。【解析】（1）由题意知：、、、，1分则、，2分设数列的公差为，，得、，3分数列的通项公式为；4分（2）由于、、、、…、，6分累加可得：，8分由于二次函数在时取得最大值，∴数列的最大值为。10分18．（本小题满分12分）已知函数，函数。（1）求函数的极值；（2）若时，函数与函数的单调性相同，求实数的取值范围。【解析】（1）的定义域为，，1分当时，，当时，，∴在单调递减，在单调递增，3分∴有极小值，无极大值；4分（2）由（1）知，在单调递增，则在单调递增，即在恒成立，即在恒成立，6分令，，，7分∴当时，，当时，，∴在单调递增，在单调递减，10分又时，，∴，∴。12分19．（本小题满分12分）已知、、分别为的内角、、的对边，为的面积，。（1）证明：；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围。【解析】（1）证明：在中，，由，即得：，又，∴，1分由余弦定理得：，则，2分又，∴，3分由正弦定理得：，4分即，5分又、，∴；6分（2）∵，∴，∴，7分∵且，∴，8分∴，10分∵为锐角三角形，则，11分∴，∴为增函数，∴。12分20．（本小题满分12分）已知直三棱柱，，、、分别是、、的中点，且。（1）求证：平面；（2）求；（3）求二面角的余弦值。【解析】（1）证明：取的中点，连接、、，则有，且，∵且，∴且，2分即为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面；3分（2）设、、，，则，由已知可得，且，、，5分∵，∴，∴，∴；7分（3）在平面内过点做射线垂直于，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，则、、，且为平面的一个法向量，9分又、，设为平面的一个法向量，则，令，则、，∴，11分设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴。12分21．（本小题满分12分）年年初，山东省人民政府印发了《山东省新旧动能转换重大工程实施规划》，全省上下解放思想，真抓实干，认真贯彻这一方案，并取得了初步成效。为了进一步了解新旧动能转换实施过程中存在的问题，山东省有关部门随机抽取东部和西部两个地区的个乡镇，调查其年月份的高科技企业投资额，得到如下数据：投资额/万元乡镇数将投资额不低于万元的乡镇视为“优秀乡镇”，投资额低于万元的乡镇视为“非优秀乡镇”，并将频率视为概率。已知西部地区的甲乡镇参与了本次调查，其高科技企业投资额为万元。（1）请根据上述表格中的数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关。非优秀乡镇优秀乡镇合计东部地区西部地区合计（2）经统计发现，这个乡镇的高科技企业投资额（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取该组区间的中点值作代表）。若落在区间外的左侧，则认为该乡镇为“资金缺乏型乡镇”。①试判断甲乡镇是否属于“资金缺乏型乡镇”；②某银行为本次参与调查的乡镇提供无息贷款支持，贷款方式为：投资额低于的每年给予两次贷款机会，投资额不低于的每年给予一次贷款机会，每次贷款金额及对应的概率如下：贷款金额/万元概率求甲乡镇每年能够获得贷款总金额的数学期望。附：，其中，【解析】（1）填写列联表如下所示：非优秀乡镇优秀乡镇合计东部地区西部地区合计∴，∴能在犯错误的概率不超过的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关。4分（2）①所调查的个乡镇的投资额频率分布表如下：投资额/万元乡镇数频率则，5分∵个乡镇的高科技企业投资额近似地服从正态分布，∴、，∴，∵甲乡镇的高科技企业投资额为万元，大于万元，∴甲乡镇不属于“资金缺乏型乡镇”；7分②由①可知这个乡镇的投资额的平均数为万元，甲乡镇的投资额为万元，低于万元，所以甲乡镇每年可以获得两次无息贷款，8分所得贷款总金额的取值可以是、、、、，，，，，，10分贷款总金额的分布列为：（万元）。12分22．（本小题满分12分）已知椭圆：（）上一点到两焦点的距离之和为，且其离心率为。（1）求椭圆的标准方程；（2）如图所示，已知、是椭圆上的两点，且满足，求面积的最大值。【解析】（1）由椭圆的定义得，∴，1分又离心率，∴，∴，2分∴椭圆的标准方程为；3分（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程得，设、，则，，5分由得：，又、，∴，即，则，化简得，∴或，7分原点到直线的距离为，当时，，此时，当且仅当，即时等号成立，当时，，此时，9分当直线的斜率不存在时，设，则，由得：，又，∴、，取，时，则，11分综上可知，面积的最大值是。12分