仿真卷02（解析版）

绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分仿真卷02本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数，则复数的虚部为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】，虚部为，故选B。2．设集合，，则“”是“”的（）。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】集合：，集合：，∴，但，∴“”是“”的充分不必要条件，故选A。3．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年。某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）。设第天时太阳直射点的纬度值为，该科研小组通过对数据的整理和分析，得到与近似满足：。则每年中，要使这年与个回归年所含的天数最为接近，应设定闰年的个数为（）。（精确到1）参考数据：。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，∴一个回归年对应的天数为天，假设年中应设定个闰年，则平年有个，∴，解得，∴应设定个闰年，故选A。4．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业。该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择、、、、、的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意得，若洒水车能够不重复的走遍全部街道，则选择从、两点开始驶入均可，若从其他点驶入，则会出现重复路线，∴不重复的走遍所有街道的概率为，故选C。5．如图所示，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的俯角为，到山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】在中，，，∴，在中，，∴，∴，由正弦定理得，解得，在中，，∴山的高度为，故选B。6．如图所示，四棱锥中，平面，底面是梯形，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，，∴，取的中点，连接、，∴，∴梯形的外接圆的圆心为，过点作（与位于平面的同侧），使得，取的中点，易得，故为四棱锥的外接球的球心，∵，∴四棱锥的外接球的表面积为，故选B。7．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆。已知定点、，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】设，则，化简得：，∴圆：，点，∵，∴，∴为等边三角形，过圆心做，垂足为，则，∴在中，，∴，∴直线的斜率，故选B。8．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等。建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为。若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于点、，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列说法正确的是（）。A、是偶函数B、C、随的增大而减小D、的面积随的增大而减小【答案】D【解析】A选项，是奇函数，错，B选项，，错，C选项、D选项：设、，则曲线在点处的切线方程为：，则曲线在点处的切线方程为：，联立求得点的坐标为，则，，∴随的增大而先减小后增大，的面积随的增大而减小，∴C选项错、D选项对，故选D。二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．为普及疫情知识，某校不定期地共组织了次全员性的防控知识问答竞赛，下面是甲、乙两个班级次成绩（单位：分）的折线图，根据折线图，正确的说法是（）。A、甲班成绩分数逐次增加B、甲班乙班成绩分数平均值均为C、甲班成绩分数的方差大于乙班成绩分数的方差D、从第次到第次甲班成绩分数増量大于乙班成绩分数增量【答案】BCD【解析】A选项，甲班成绩分数第次低于第次，错，B选项，甲班乙班的成绩分数平均值均为，对C选项，甲班成绩分数第一次明显低于乙班成绩分数，中间几次较为接近，甲班乙班的成绩分数平均值均为，∴甲班成绩分数的方差大于乙班成绩分数的方差，对，D选项，从第次到第次甲班成绩分数增量大于乙班成绩分数增量，对，故选BCD。10．若，则下列命题正确的是（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】A选项，，，∵，∴，∴，∴，对，B选项，∵，∴，错，C选项，∵，错，D选项，∵，∴，故，对，故选AD。11．如图所示，平面平面直线，点、，点、，且、、、，点、分别是线段、的中点，则下列说法正确的是（）。A、当直线与相交时，交点一定在直线上B、当直线与异面时，可能与平行C、当、、、四点共面且时，D、当、两点重合时，直线与不可能相交【答案】ACD【解析】A选项，设，∵、、∴，对，B选项，当、是异面直线时，假设，则平面，连接，取的中点，连接、，∵、分别为、的中点，∴，∴平面平面，同理可得平面平面，∴平面平面，与已知矛盾，故假设不成立，∴不可能与平行，错，C选项，当、、、四点共面且时，可得平面，过的平面与平面相交于，∴，对，D选项，若、两点重合，则，∴，此时直线与直线不可能相交，对，故选ACD。12．已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则下列说法正确的是（）。A、为单调递增的等差数列B、C、为单调递增的等比数列D、使得成立的的最大值为【答案】BCD【解析】令，则，∴，∴，∵是等比数列，∴，即，∵，∴，∴B选项对，∵，∴是公差为的递减等差数列，∴A选项错，∵，∴是首项为，公比为的递增等比数列，∴C选项对，∵，，，∴时，，时，，∴时，，∵，∴时，，又，，∴使得成立的的最大值为，∴D选项对，故选BCD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．已知单位向量、、满足：，则与的夹角为。【答案】【解析】对于单位向量，，，满足，则，设与夹角为，由题意得，即，解得，即。14．将函数的图像向左平移个单位，再把所得的图像保持纵坐标不变，横坐标放大到原来的倍后得到新函数的图像，则函数在区间上的值域为。【答案】【解析】把的图像的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图像，再把所得图像向右平移个单位，可得的图像，当时，，∴，即函数在区间上的值域为。15．已知函数（），若恒成立，则实数的取值范围为。【答案】【解析】∵，定义域为，则，两边加上得到，∵单调递增，∴，即，令，定义域为，，令，解得，∴时，，单调递增，，，单调递减，∴，∴。16．已知点为双曲线：（，）在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为；若、分别交双曲线于、两点，记直线与的斜率分别为、，则。（本题第一空2分，第二空3分）【答案】【解析】设，则，则，，即，将其代入双曲线方程得：，即，又，∴，即，两边同除以得，即，解得或，又，∴，设，又，则，将点、的坐标分别代入双曲线方程得，两式做差得：，∴。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在①；②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中。问题：是否存在，它的内角、、所对的边分别为、、，且，______，______？若三角形存在，求的值；若不存在，说明理由。注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。【解析】选择条件①和②：在中，，∵，∴，2分由余弦定理得：，∵，∴，4分∵，∴，5分∴，∴，7分∵，∴，8分在中，由正弦定理，得，∴。10分选择条件①和③：在中，，∵，∴，2分由余弦定理得：，∵，∴，4分∵，且，7分∵，∴，∴，8分∵，∴，∴，可得，9分∴在中，。10分选择条件②和③：在中，，∵，∴，2分∴，∴或，∵，，∴或，4分又∵，且，7分∵，∴，∴，8分∵，∴，∴，可得，9分∴，，，∴为等腰直角三角形，∴。10分18．（本小题满分12分）为数列的前项和，已知。（1）设，证明：，并求；（2）证明：。【解析】（1）当时，由，，得，，1分由可知：，则，即，3分∴，4分∴当时，，6分当时，，符合，∴，∴，∴；8分（2）由（1）可知，9分∴，11分∴。12分19．（本小题满分12分）如图所示的空间多面体中，平面，平面，，且，，，。（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求证：直线平面；（3）求二面角的余弦值。【解答】（1）解：∵平面，∴为直线与平面所成角，设其大小为，，；3分（2）证明：∵，且，，∴，∴，∴，∴，∵平面，∴，∵，∴平面；6分（3）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，∴，，，7分设平面的法向量分别为，∴，令，则，9分设平面的法向量分别为，∴，令，则，11分设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴。12分20．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的离心率，其左、右顶点分别是点、，且点关于直线对称的点在直线上。（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在椭圆上，点在圆：上，且、都在第一象限，轴，若直线、与轴的交点分别为、，判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由。【解析】（1）点关于直线对称的点在直线上，∴，1分∵，∴，又∵，解得，3分∴椭圆的标准方程为；4分（2）设，：（），令，解得，，联立，化简得：（），∴，得，，，6分直线的斜率为，∴的方程：，令，解得，，9分设，则，，∴，∵，，∴，∴，即，∴为定值。12分21．（本小题满分12分）射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育运动。射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康。为了度过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动。（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有（）发子弹，假设张三每次打靶的命中率均为（），靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击。记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望。（2）张三在休息之余用手机逛站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段：中国队长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘。这让张三不由得想起了半人半鬼，神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”。由此，在接下来的射击体验中，张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为，弹容为发的左轮手枪，弹巢中有发实弹，其余均为空包弹。现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹。假设每次射击相互独立且均随机。在进行（）次射击后，记弹巢中空包弹的发数。①当时，探究数学期望和之间的关系；②若无论取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望时可近似认为枪中没有实弹），求该种情况下最小的射击次数。参考数据：、。【解析】（1）由题意，的所有可能取值为：、、、…、、，∵张三每次打靶的命中率均为（），则（、、、…、），，1分∴的分布列为：2分……∴数学期望为：，令①，则②，∴①-②可得：，则；4分（2）①第次射击后，可能包含两种情况：第次射出空包弹或第次射出实弹，∵第次射击前，剩余空包弹的期望为，若第次射出空包弹，则此时对应的概率为，∵射击后要填充一发空包弹，∴此时空包弹的数量为，若第次射出实弹，则此时对应的概率为，∴此时空包弹的数量为，综上所述，；8分②∵当时，弹夹中有发空包弹，则，由①可知：当时，，则，∴是首项为，公比为的等比数列，则，即，∴弹巢中实弹的发数的期望为，10分为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于，只需，则，∴，为使恒成立，只需，而，又，∴最小的射击次数。12分22．（本小题满分12分）已知函数，。（1）讨论函数的单调性；（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中