2023年高考数学必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷01（解析版）

绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分2023年高考必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷01本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，集合，则（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵或，∴或，故选A。2．已知是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点所在的象限是（）。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】D【解析】∵，∴，则，∴的共轭复数，在复平面内对应点的坐标为，在第四象限，故选D。3．年月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）。A、这天复工指数和复产指数均逐日增加B、这天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C、第天至第天复工复产指数均超过D、第天至第天复工指数的增量大于复产指数的增量【答案】C【解答】A选项，第天比第天的复工指数和复产指数均低，错，B选项，这天期间，复产指数的极差小于复工指数的极差，两者最高差不多，但最低的复工指数比复产指数低得多，错，C选项，第天至第天复工复产指数均超过，对，D选项，第天至第天复工指数的增量小于复产指数的增量，错，故选C。4．《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，意思是有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，问第三天和第四天共走了（）。A、里B、里C、里D、里【答案】C【解析】由题意得，每天走的路程构成为公比的等比数列，设为，∴，解得，则此人第二天走里，第三天走里，第四天走里，∴第三天和第四天共走了里，故选C。5．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”。其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山。始建于东汉建安二十年（年），历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年（年）重建时的形制与格局。因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世。自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉。小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为（）。参考数据：、。A、米B、米C、米D、米【答案】B【解析】在中，∵，∴，在中，∵，∴，则，得，则米，故选B。6．已知随机变量，且，则（）的最小值为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】，可得正态分布曲线的对称轴为，又，∴，即，令（），则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则的最小值为，故选B。7．如图的平面四边形中，，，，，，。若点为边上的动点，则的最小值为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】以为原点建立如图所示平面直角，依题意，，，在中，由余弦定理得，∴，∴，而，∴，，在中，由余弦定理得，∴，∴，在中，，∴是等边三角形，∴，∴、、，设，依题意令（），即，∴，∴，∴，对于二次函数（），其对称轴为，开口向上，∴当时，有最小值，也即有最小值为，故选A。8．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则方程的实根个数为（）。A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】由可得：，则，即，则，，又，∴，∴，∴，，令，，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴的最小值为，则对于，令，可得，令，可得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，当时，，当时，，∴函数与有个交点，即方程的实根个数为，故选B。二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．已知，且，则（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】由，且，∴，A选项，，，∴，对，B选项，，当且仅当，即，时取等号，错，C选项，由于，错，D选项，∵在为增函数，∴，∴，对，故选AD。10．下列说法正确的是（）。A、将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍B、若四条线段的长度分别是、、、，从中任取条，则这条线段能构成三角形的概率为C、线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D、设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为【答案】BD【解析】将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍，A错，从中任取条共有种，若三段能构成三角形,则只有、、一种，则构成三角形的概率是，B对，，两个变量的线性相关性越强，，线性相关性越弱，C错，由题意可知，，，设，，则，得，得，即，得（舍）或，得，即事件发生的概率为，D对，故选BD。11．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则下列结论正确的是（）。A、B、的焦距是C、的离心率为D、的面积为【答案】ACD【解析】设，则，，离心率，选项C正确，∴，，选项A正确，，选项B错误，设，将代入得，的面积为，选项D正确，故选ACD。12．如图所示，棱长为的正方体的内切球为球，、分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列结论成立的有（）。A、存在点，使垂直于平面B、对于任意点，平面C、直线的被球截得的弦长为D、过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为【答案】ACD【解析】正方体的内切球的球心即正方体的中心，，A选项，当为的中点时，，，∵，∴平面，而平面，则，同理，平面，可得，∵，∴平面，即垂直于平面，对，B选项，当与重合时，平面，平面，∴与平面相交，此时平面不成立，错，C选项，，取的中点，由对称性可知，，∴，∵，∴，即到的距离为，∴直线的被球截得的弦长为，对，D选项，设截面圆的半径为，到平面的距离为，则，当到平面的距离最大时，截面圆的半径最小，∵到平面的距离小于等于到的距离，∴当时，，∴半径最小的圆的面积为，对，故选ACD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．已知函数，则。【答案】【解析】根据题意，函数，则。14．某校有个社团向高一学生招收新成员，现有名同学，每人只选报个社团，恰有个社团没有同学选报的报法数有种（用数字作答）。【答案】【解析】根据题意，分步进行分析：①根据题意，个社团中恰有个社团，即只有个社团有人报名，则先在个社团中任选个，有学生报名，有种选法，②将名学生分为组，有种分法，③进而将组全排列，对应个社团，有种情况，则恰有个社团没有同学选报的报法数有种，故恰有个社团没有同学选报的报法数有种。15．函数，，数列满足，。①函数是增函数；②数列是递增数列。（1）写出一个满足①的函数的解析式；（2）写出一个满足②但不满足①的函数的解析式。（本题第一空2分，第二空3分）【答案】（1）；（2）（注：此题答案不唯一，写出一个正确的即可）【解析】（1）在上是增函数的函数有许多，可写为；（2）要找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为，该函数在上单调递减，在上单调递增，不符合①中在上增函数的要求，而数列在上递增。16．已知、是以原点为圆心，2为半径的圆上的任意两点，若以为直径的圆过点，则的最大值为。【答案】【解析】设是线段的中点，连接，则，连接、、、，由题可知，∴，在中，，，，由，整理得，∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴，则。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在中，角、、的对边分别为、、，为的面积，且满足。（1）求的大小；（2）若、，为直线上一点，且，求的周长。【解析】（1）在中，，∵，∴，2分又，∴，即，又，∴；4分（2）在中，由余弦定理得：，又、，，5分∴，又，∴，6分在中，由正弦定理得，又，∴为锐角，∴，8分在中，，∴，，9分∴的周长为。10分18．（本小题满分12分）已知数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：。【解析】（1）当时，，1分当时，，，3分上式除以下式得：，4分经验证，当时符合，∴数列的通项公式为；5分（2）由（1）可知，，7分∴，8分∴。12分19．（本小题满分12分）如图所示，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，。（1）若，求二面角的正弦值；（2）若平面平面，求的长。【解析】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∴，，又，1分∴以、、为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，则、、、，则、，2分设平面的一个法向量为，则，即，设，则、，∴，4分又、、，∴、，∴、，又，∴为平面的一个法向量，6分，∴二面角的正弦值为；7分（2）设（），则，、、、，设平面的一个法向量为，则，即，设，则，∴，9分设平面的一个法向量为，则，即，设，则，∴，11分∵平面平面，∴，即，得，即。12分20．（本小题满分12分）设为椭圆：的右焦点，过点的直线与椭圆交于、两点。（1）若点为椭圆的上顶点，求直线的方程；（2）设直线、的斜率分别为、（），求证：为定值。【解析】（1）若为椭圆的上顶点，则，1分又过点，∴直线：，2分代入椭圆C：，可得，解得、，3分即点，从而直线：；4分（2）由题意可知，直线的倾角，设直线：，5分代入椭圆方程可得：，6分，则或，7分设、，∴，8分∴，10分又、均不为，故，即为定值。12分21．（本小题满分12分）某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取名考生的数据，统计如下表：数学成绩物理成绩（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩与数学成绩之间具有线性相关关系，请根据这组数据建立关于的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩。（2）已知参加该次考试的名考生的物理成绩服从正态分布，用剔除异常数据后的样本平均值作为的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于分的人数的期望。附：参考数据：上表中的表示样本中第名考生的数学成绩，表示样本中第名考生的物理成绩，。参考公式：①对于一组数据：、、…、，其方差：；②对于一组数据：、、…、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，。③若随机变量服从，则，，。【解析】（1）设根据剔除后数据建立的关于的回归直线方程为，剔除异常数据后的数学平均分为，剔除异常数据后的物理平均分为，则，则，∴关于的回归直线方程为，4分又物理缺考考生的数学成绩为，∴估计其可能取得的物理成绩为，5分（2）由题意得，，∵，∴，∴参加该次考试的名考生的物理成绩服从正态分布，9分则物理成绩不低于分的概率为，由题意得，∴物理成绩不低于分的人数的期望。12分22．（本小题满分12分）已知函数（）。（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）若，证明：，总有。【解析】（1）的定义域为，，1分若函数存在单调减区间，则有解，2分而恒成立，即有解，3分∴，又，∴；4分（2）证明：当时，，，5分，由，有，从而，要证原不等式成立，只要证，7分即证，对恒成立，首先令，则，8分当时单调递增，当时单调递减，∴，有（当且仅当时等号成立），9分构造函数，，∵，在时，，即在上是减函数，在时，，即在上是增函数，∴在上，，∴，∴当且仅当时，，等号成立，11分综上所述，，由于取等条件不同，∴，即，∴原不等式成立。12分